Encontre a transformada de Laplace para as seguintes funções (para t >= 0 ) utilizando uma tabela de transformadas (disponível no AVA) e as transformadas desenvolvidas em sala.
f(t)=t^3+3 cos (2 t)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra encontrar a transformada de Laplace da função
f(t)=t^3 + 3cos(2t),, t>=0,
Isso faz parte do conteúdo de Transformada de Laplace. Para resolver, vamos precisar da definição básica (mas sem calcular integrais complicadas) e de uma tabela pronta com:
1) Transformada de t^n,
2) Transformada de cos(at),
3) Propriedade da linearidade (pra quebrar soma e constantes).

Passo 2

Primeiro, lembra que a transformada de Laplace é definida por
Lf(t)(s)=integral0^inftye^-stf(t),dt,
Mas em vez de rebolar nesse integral, usamos a tabela e a propriedade da linearidade, que diz:
La,g(t)+b,h(t) = a,Lg(t) + b,Lh(t),

Passo 3

Agora, aplicamos a quebra:
Lt^3 + 3cos(2t) = Lt^3 ;+; 3,Lcos(2t),
Da tabela:
  1. Para t^n vale
Lt^n(s)=n!s^,n+1,
Aqui n=3, então
Lt^3 = 3!s^4 = 6s^4,
  1. Para cos(at) vale
Lcos(at)(s)=ss^2 + a^2,
Aqui a=2, logo
Lcos(2t) = ss^2+4,

Passo 4

Junta tudo usando a linearidade:
$$\mathcal{L}{t^3 + 3\cos(2t)}
= \frac{6}{s^4} + 3;\frac{s}{s^2+4},. $$

Resposta

$$\boxed{\mathcal{L}{t^3 + 3\cos(2t)}(s)
= \frac{6}{s^4} ;+; \frac{3s}{s^2+4},.}$$

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