Encontre a transformada de Laplace para as seguintes funções (para t >= 0 ) utilizando uma tabela de transformadas (disponível no AVA) e as transformadas desenvolvidas em sala.
f(t)=2 t^2 cos (t)

Passo 1

Beleza, o exercício pede a transformada de Laplace de
f(t)=2,t^2cos(t), t>=0
Conteúdo: transformada de Laplace, tabela básica e propriedade de derivada em relação a . Vamos usar a transformada de e a lei que relaciona com derivadas de .

Passo 2

Primeiro, lembramos da transformada de Laplace de Lcos(at)(s) =integral0^inftye^-stcos(at),dt =ss^2+a^2 :
F(s)=Lcos(t)(s)=ss^2+1
No nosso caso , então

Passo 3

Agora usamos a propriedade “multiplicação por Lt^n f(t)(s) =(+1)^nd^nds^nl[F(s)r] ”:
Lt^2cos(t)(s) =d^2ds^2l[F(s)r]
Para L2t^2cos(t)(s) =2;d^2ds^2l[ss^2+1r] :
Como temos um fator 2 em , no fim multiplicamos por 2:

Passo 4

Vamos derivar passo a passo.
  1. F'(s) =(1)(s^2+1)-s(2s)(s^2+1)^2 =s^2+1-2s^2(s^2+1)^2 =1-s^2(s^2+1)^2
  2. Primeira derivada:
F''(s) =dds!l[1-s^2(s^2+1)^2r]
  1. Segunda derivada:
F''(s) =2s^3-6s(s^2+1)^3
Use quociente ou produto; o resultado simplificado é

Passo 5

Por fim, lembrando do fator 2:
L2t^2cos(t)(s) =2,F''(s) =2;2s^3-6s(s^2+1)^3 =4s^3-12s(s^2+1)^3 =4s,(s^2-3)(s^2+1)^3

Resposta

boxed L2t^2cos(t)(s) =4s^3-12s(s^2+1)^3 ;=;4s,(s^2-3)(s^2+1)^3

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