Para os itens abaixo: i) resolva as equações diferenciais usando a transformada de Laplace; ii) Verifique na função
se as condições iniciais foram satisfeitas; iii) Verifique se o teorema do valor final é aplicável. Se sim, aplique-o.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
, usando transformada de Laplace. Depois a gente checa se essas condições iniciais aparecem direitinho na solução e ainda vê se rola aplicar o Teorema do Valor Final.
Conteúdo que vai entrar em jogo:
Conteúdo que vai entrar em jogo:
- Transformada de Laplace de derivadas,
- Álgebra para isolar
, - Frações parciais,
- Transformada inversa,
- Teorema do Valor Final.
Passo 2
Vamos transformar toda a EDO. Lembrando que
e
.
Aplicando na equação:
e
.
Aplicando na equação:
fica
Passo 3
Agora somamos os termos em
e os constantes:
Logo
Passo 4
Partes parciais em
A gente monta
A gente monta
Comparando coeficientes:
daí
e
.
Então
Então
Passo 5
Vamos inverter a Laplace sabidamente:
.
Logo
.
Logo
Passo 6
Agora checar as condições iniciais:
-
, confere com . -
, então , bem .
Perfeito, as iniciais batem.
Passo 7
Verificar o Teorema do Valor Final, que diz
desde que todos os polos de
fiquem à esquerda no plano
. Aqui os polos de
são em
, tudo certinho.
Então
Então
E, de fato,
.
Resposta
y(t) =
.