Para os itens abaixo: i) resolva as equações diferenciais usando a transformada de Laplace; ii) Verifique na função y(t) se as condições iniciais foram satisfeitas; iii) Verifique se o teorema do valor final é aplicável. Se sim, aplique-o.
ddoty+4 doty+3 y=0, y(0)=3, doty(0)=1

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente resolver a equação diferencial
ddot y + 4dot y +3y = 0
com as condições iniciais e , usando transformada de Laplace. Depois a gente checa se essas condições iniciais aparecem direitinho na solução e ainda vê se rola aplicar o Teorema do Valor Final.
Conteúdo que vai entrar em jogo:
  • Transformada de Laplace de derivadas,
  • Álgebra para isolar ,
  • Frações parciais,
  • Transformada inversa,
  • Teorema do Valor Final.

Passo 2

Vamos transformar toda a EDO. Lembrando que

e
.
Aplicando na equação:
fica
Lapddot y + 4,Lapdot y +3,Lapy = 0

Passo 3

Agora somamos os termos em s^2Y -3s -1 + 4sY -12 +3Y = 0 ;;Longrightarrow;; (s^2 +4s+3),Y = 3s +13 e os constantes:
Y(s) = 3s+13s^2+4s+3 = 3s+13(s+1)(s+3)
Logo

Passo 4

Partes parciais em
A(s+3) + B(s+1) = 3s+13 ;Longrightarrow; (A+B)s + (3A+B) = 3s+13
A gente monta
A + B = 3, 3A + B = 13,
Comparando coeficientes:
Y(s) = 5s+1 - 2s+3
daí e .
Então

Passo 5

Vamos inverter a Laplace sabidamente:
.
Logo
y(t) = 5,e^-t ;-;2,e^-3t

Passo 6

Agora checar as condições iniciais:
  • , confere com .
  • , então , bem .
    Perfeito, as iniciais batem.

Passo 7

Verificar o Teorema do Valor Final, que diz
limttoinftyy(t) = limsto0 s,Y(s),
desde que todos os polos de limsto0 s,3s+13s^2+4s+3 = 0cdot(3cdot0+13)0+0+3 = 0 fiquem à esquerda no plano . Aqui os polos de são em , tudo certinho.
Então
E, de fato, .

Resposta

y(t) = .

Exercícios relacionados