Encontre a transformada Z da sequência numérica gerada amostrando-se o sinal e(t) a cada T=1 s, a partir de t=0, e considerando e(t)=0, para t<0, sabendo-se que a transformada de Laplace da função e(t) é:
E(s)=2(1-epsilon^-5 s)s(s+2)
Dica: o atraso de tempo no domínio contínuo é modelado por epsilon^-t0 s, sendo t0 o tempo de atraso (em segundos).

Passo 1

O enunciado pede a transformada Z da sequência amostrada
e[k]=e(k) com período T=1, sabendo que
E(s)=2l(1-e^-5sr)s(s+2)
Em resumo, vamos inverter E(s) em partes (delay e frações parciais), obter e(t), amostrar em t=k e aplicar a transformada Z.

Passo 2

Escrevemos
E(s) =2s(s+2)-2,e^-5ss(s+2)
Pelas frações parciais,
2s(s+2)=1s-1s+2,
então
e1(t)=1-e^-2t, t>=0,
e a parte atrasada é
e2(t)=(1-e^-2(t-5)),u(t-5)
Logo
e(t)=(1-e^-2t),u(t);-;(1-e^-2(t-5)),u(t-5)

Passo 3

Amostrando em t=k ( kin0,1,2,dots), definimos
e[k]=(1-e^-2k);-;(1-e^-2(k-5)),u[k-5],
onde u[k-5]=0 se k<5 e 1 se k>=5.

Passo 4

Usamos transformadas Z conhecidas:
Z1=11-z^-1,
Ze^-2k=11-e^-2z^-1,
Zu[k-5]=z^-51-z^-1,
Ze^-2(k-5)u[k-5]=z^-51-e^-2z^-1
Dessa forma
Z,1-e^-2k =11-z^-1-11-e^-2z^-1,
Z(1-e^-2(k-5))u[k-5] =z^-51-z^-1-z^-51-e^-2z^-1

Passo 5

Subtraindo essas expressões, fica
E(z) =1-z^-51-z^-1 ;-; 1-z^-51-e^-2z^-1 =(1-z^-5)l[tfrac11-z^-1-tfrac11-e^-2z^-1r]
Reagrupando:
E(z) =(1-z^-5)(1-e^-2)(1-z^-1)(1-e^-2z^-1)

Resposta

E(z) =(1 - z^-5),(1 - e^-2) (1 - z^-1),(1 - e^-2z^-1)

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