Encontre a transformada Z das sequências numéricas geradas amostrando-se as funções temporais a seguir a cada T segundos, a partir de t=0, e considerando u(t) a função degrau unitário e e(t)=0, para t<0.
e(t)=epsilon^-(t-T) u(t-T)

Passo 1

O enunciado dá a função contínua
e(t)=epsilon^-(t-T),u(t-T),
onde u(t) é o degrau unitário, e pede a transformada Z da sequência obtida ao amostrar e(t) a cada T segundos, para t>=0. Vamos usar a definição de amostragem e a definição da transformada Z.

Passo 2

Definimos a sequência amostrada por
e[k]=e(kT)=epsilon^-l(kT-Tr),ul(kT-Tr)
Como u(kT-T)=0 para kT<T (isto é, para k<1) e vale 1 para k>=1, temos
e[0]=0, e[k]=epsilon^-(kT-T)(k>=1)
Reescrevendo epsilon^-(kT-T)=epsilon^T-kT=epsilon^Tl(epsilon^-Tr)^k, obtemos
e[k]= 0, & k=0, epsilon^Tl(epsilon^-Tr)^k, & k>=1

Passo 3

Pela definição da transformada Z,
E(z)=sumk=0^inftye[k],z^-k =sumk=1^inftyepsilon^Tl(epsilon^-Tr)^k,z^-k
Factorizando epsilon^T, fica
E(z)=epsilon^Tsumk=1^inftyl(epsilon^-Tz^-1r)^k

Passo 4

Reconhecendo a soma como série geométrica com razão epsilon^-Tz^-1, válida para l|epsilon^-Tz^-1r|<1, temos
sumk=1^inftyr^k=r1-r,
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E(z) =epsilon^T;epsilon^-Tz^-11-epsilon^-Tz^-1 =z^-11-epsilon^-Tz^-1
Multiplicando numerador e denominador por z, obtemos a forma racional mais comum:

Resposta

E(z)=z^-11-epsilon^-Tz^-1 Long<=ftrightarrow E(z)=1z-epsilon^-T,
com região de convergência lvert zrvert>epsilon^-T.

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