Encontre a transformada Z das sequências numéricas geradas amostrando-se as funções temporais a seguir a cada T segundos, a partir de t=0, e considerando u(t) a função degrau unitário e e(t)=0, para t<0.
e(t)=epsilon^-(t-5 T) u(t-5 T)

Passo 1

O enunciado dá a função contínua
e(t)= e^-(t-5T),u(t-5T)
com e(t)=0 para t<0, pede-se a transformada Z da sequência obtida amostrando-se em t=nT ( n=0,1,2,dots). O conteúdo é a transformada de Z de uma sequência que é um decaimento exponencial deslocado.

Passo 2

Ao amostrar em t=nT definimos a sequência
e[n]=e(nT)= e^-l(nT-5Tr),ul(nT-5Tr)
Como u(nT-5T)=0 para n<5 e vale 1 para n>=5, segue
e[n]= 0,&n<5, e^-T(n-5),&n>=5

Passo 3

A transformada Z de e[n] é
E(z)=sumn=0^inftye[n],z^-n =sumn=5^infty e^-T(n-5),z^-n

Passo 4

Fazendo a mudança de índice k=n-5, temos n=k+5 e
E(z) =sumk=0^infty e^-T k,z^-(k+5) =z^-5sumk=0^inftyl( e^-Tz^-1r)^k

Passo 5

Reconhecendo a série geométrica, válida para l| e^-Tz^-1r|<1, obtemos
sumk=0^inftyl( e^-Tz^-1r)^k =11- e^-Tz^-1,
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E(z) =z^-51- e^-Tz^-1

Resposta

E(z)=z^-51- e^-Tz^-1, com região de convergência |z|> e^-T ãê

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