Encontre a transformada Z das sequências numéricas geradas amostrando-se as funções temporais a seguir a cada T segundos, a partir de t=0, e considerando u(t) a função degrau unitário e e(t)=0, para t<0.
e(t)=epsilon^-a t

Passo 1

O enunciado pede a transformada Z da sequência obtida ao amostrar, a cada T segundos a partir de t=0, a função
e(t)=e^-a t,
considerando que e(t)=0 para t<0 (graças ao degrau unitário u(t)). O conteúdo aqui é amostragem de um decaimento exponencial e uso da definição de transformada Z.

Passo 2

Ao amostrar em instantes t=kT, para k=0,1,2,dots, obtemos a sequência
x[k]=e(kT)=e^-a,kT

Passo 3

A definição da transformada Z de uma sequência causal x[k] é
X(z)=sumk=0^inftyx[k],z^-k

Passo 4

Substituindo x[k]=e^-a,kT na soma, temos
X(z)=sumk=0^inftye^-a,kT,z^-k =sumk=0^inftyl(e^-aTz^-1r)^k
Isso é uma série geométrica de razão r=e^-aTz^-1, que converge se l|e^-aTz^-1r|<1.

Passo 5

Aplicando a fórmula da soma de uma série geométrica sumk=0^infty r^k=1/(1-r), obtemos
X(z)=11-e^-aTz^-1,
com região de convergência l|zr|>e^-aT.

Resposta

X(z)=11-e^-aTz^-1, ROC: |z|>e^-aT

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