a) Escreva, em forma de série de potência, a transformada Z da sequência numérica gerada amostrando a função temporal e(t)=epsilon^-t, a cada T segundos, a partir de t=0. Considerar e(t)=0, para t<0.
b) Calcule os 5 primeiros coeficientes da série de potência obtida em (a) para o caso em que T=0,05 s.
c) A transformada Z de e(t)=epsilon^-b t, amostrada a cada T=0,2 s, é dada por:
E[z]=1+(12) z^-1+(12)^2 z^-2+(12)^3 z^-3+cdots
Determine o valor do parâmetro b.

Passo 1

O enunciado pede a transformada Z da sequência obtida amostrando
e(t)=e^-t
a cada T segundos para t>=0 (e zero para t<0), depois os 5 primeiros coeficientes quando T=0,05~s, e por fim, dado um caso em que a série tem razão tfrac12 para T=0,2~s, determinar o parâmetro b. Vamos usar o conceito de transformada Z:
E(z)=sumk=0^inftye[k] , z^-k,
onde e[k]=e(kT).

Passo 2

Como e[k]=e^-kT, a transformada Z em forma de série de potência é
E(z)=sumk=0^inftye^-kT,z^-k =sumk=0^inftyl(e^-Tr)^kz^-k

Passo 3

Para T=0,05~s definimos
a=e^-0,05approx0,951229
Os cinco primeiros coeficientes ck=a^k são:
c0=1, c1=aapprox0,951229, c2=a^2approx0,904837, c3=a^3approx0,860708, c4=a^4approx0,818731

Passo 4

No caso geral de e(t)=e^-b,t amostrado a cada T=0,2~s, a série ficou
E(z)=sumk=0^inftyl(e^-bTr)^kz^-k =1+l(tfrac12r)z^-1+l(tfrac12r)^2z^-2+cdots
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e^-bcdot0,2=tfrac12 Longrightarrow -bcdot0,2=lntfrac12=-ln2 Longrightarrow b=ln20,2approx3,465736 (s^-1)

Resposta

(a) E(z)=sumk=0^inftyl(e^-Tr)^kz^-k
(b) c0=1,;c1approx0,951229,;c2approx0,904837,;c3approx0,860708,;c4approx0,818731
(c) b=dfracln20,2approx3,4657 s^-1

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