Encontre as transformadas de Fourier dos seguintes sinais contínuos:
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier do sinal bidimensional
onde
e
são constantes (frequências espaciais).
Informações dadas:
Informações dadas:
O que se pede: encontrar a transformada de Fourier
(função das variáveis de frequência
e
).
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier bidimensional que vamos usar (convenção usual em processamento de sinais, com fator
no expoente):
Explicando as letras:
são as coordenadas espaciais (variáveis de integração),
são as variáveis de frequência correspondentes,
é a unidade imaginária (
).
Duas propriedades que usaremos e que vale revisar:
Duas propriedades que usaremos e que vale revisar:
- Linearidade: a transformada é linear, ou seja, se
então . - Par de transformadas envolvendo exponenciais complexas e deltas: para
,
onde
é a delta de Dirac. Em 2D, a integral separável dá produto de deltas:
Passo 3
Expressamos a função seno por exponenciais complexas (identidade de Euler), pois exponenciais são fáceis de transformar:
Isso usa a fórmula
. A vantagem: aplicando linearidade podemos transformar cada exponencial separadamente.
Passo 4
Aplicamos a transformada definida no Passo 2 sobre cada termo usando linearidade:
Agora usamos a propriedade do Passo 2 (integrais separáveis que viram deltas):
Substituindo essas expressões em
obtém-se:
Passo 5
Interpretação física e forma alternativa: o seno bidimensional gera dois impulsos (deltas) no domínio da frequência, localizados nas frequências
e
, com sinais opostos e fator
. Às vezes essa expressão é escrita usando
em vez de
ou destacando o fator imaginário:
Isso é exatamente o resultado que usaríamos na prova: decompor em exponenciais e aplicar a transformada que transforma deslocamentos em deltas.