Qual ou quais sistemas abaixo são lineares e invariantes a deslocamentos?
g(x, y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, \eta) \mathrm{d} \eta

Passo 1

O enunciado dá um sistema que associa a uma função de duas variáveis f(x,y) outra função g(x,y) definida por
g(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,\eta)\, \mathrm{d}\eta.
Perguntas que precisamos responder:
  • O sistema é linear?
  • O sistema é invariante a deslocamentos (em (x,y))?
Informações relevantes do enunciado:
  • A integração é feita em relação à variável \eta sobre (-\infty,\infty).
  • A variável x aparece na integranda, a variável y não aparece na integranda (logo g pode depender de x e, aparentemente, é constante em y para cada x).

Passo 2

Definição e ideia para linearidade (aula rápida e amigável).
  • Um sistema T que transforma f em g=T\{f\} é linear se para quaisquer funções f_1,f_2 e quaisquer escalares a,b valem:
T\{a f_1 + b f_2\} = a\,T\{f_1\} + b\,T\{f_2\}.
  • Intuitivamente: linearidade significa que a operação respeita soma e multiplicação por constantes — dá para distribuir a operação sobre combinações lineares.

Passo 3

Verificação direta da linearidade para o sistema dado.
  • Seja T o operador definido por T\{f\}(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,\eta)\,\mathrm{d}\eta.
  • Tome duas funções f_1,f_2 e escalares a,b. Calcule T\{a f_1 + b f_2\}:
T\{a f_1 + b f_2\}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} \bigl(a f_1(x,\eta) + b f_2(x,\eta)\bigr)\,\mathrm{d}\eta.
  • Usando a linearidade da integral (podemos tirar constantes e separar a soma dentro da integral),
\int_{-\infty}^{\infty} \bigl(a f_1(x,\eta) + b f_2(x,\eta)\bigr)\,\mathrm{d}\eta = a\int_{-\infty}^{\infty} f_1(x,\eta)\,\mathrm{d}\eta + b\int_{-\infty}^{\infty} f_2(x,\eta)\,\mathrm{d}\eta.
  • Isso é exatamente
a\,T\{f_1\}(x,y) + b\,T\{f_2\}(x,y).
  • Conclusão: T é linear. (Comentário amigo: a integral sobre \eta é uma operação linear, então era de se esperar — mas é bom mostrar passo a passo.)

Passo 4

Definição e ideia para invariância a deslocamentos (aula rápida e amigável).
  • Para um sistema ser invariante a deslocamentos (também chamado LTI em sinais), devemos ter, para qualquer deslocamento (x_0,y_0),
T\{f(\,x-x_0,\,y-y_0)\}(x,y) = T\{f\}(\,x-x_0,\,y-y_0).
  • Ou seja: deslocar a entrada e depois aplicar o sistema é o mesmo que aplicar o sistema e depois deslocar o resultado.

Passo 5

Verificação direta da invariância a deslocamentos para o sistema dado.
  • Começamos computando a saída do sistema quando a entrada é a função deslocada f_{d}(x,y)=f(x-x_0,\,y-y_0):
T\{f_d\}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_d(x,\eta)\,\mathrm{d}\eta = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-x_0,\,\eta - y_0)\,\mathrm{d}\eta.
  • Façamos a mudança de variável \zeta=\eta - y_0. Então \mathrm{d}\zeta=\mathrm{d}\eta e quando \eta varia em (-\infty,\infty) também \zeta varia em (-\infty,\infty). Assim
\int_{-\infty}^{\infty} f(x-x_0,\,\eta - y_0)\,\mathrm{d}\eta = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-x_0,\,\zeta)\,\mathrm{d}\zeta.
  • Note que a expressão do lado direito é exatamente T\{f\} avaliada em (x-x_0,\;y\!-\!y_0)? Vamos comparar explicitamente:
T\{f\}(x-x_0,\,y-y_0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-x_0,\;\eta)\,\mathrm{d}\eta.
  • Como a variável de integração é dummy (a letra usada não importa), temos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x-x_0,\;\eta)\,\mathrm{d}\eta = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-x_0,\;\zeta)\,\mathrm{d}\zeta.
  • Portanto
T\{f_d\}(x,y) = T\{f\}(x-x_0,\,y-y_0).
  • Isso mostra que deslocar a entrada por (x_0,y_0) resulta em uma saída que é a mesma saída não deslocada porém deslocada por (x_0,y_0). Logo o sistema é invariante a deslocamentos.
Observação intuitiva (amigável): a integral sobre toda a reta em \eta “anula” o efeito do deslocamento em y depois que fazemos a mudança de variável; e o deslocamento em x aparece naturalmente como mudança do argumento da saída.

Passo 6

Resumo didático e pequeno exemplo para fixar.
  • Resumo: o operador é uma integração linear em \eta com limites fixos; tais integrais são lineares, e como os limites não dependem de (x,y) e a mudança de variável elimina o deslocamento em \eta, o operador também é invariante a deslocamentos em (x,y).
  • Exemplo rápido: se f(x,y)=x+y, então
T\{f\}(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty} (x+\eta)\,\mathrm{d}\eta,
que na prática diverge (só um exemplo formal), mas se pegássemos uma função integrável em \eta (por ex. f(x,y)=x\,e^{-\eta^2}) veríamos que deslocar a função em y apenas muda a variável integrada e não altera a propriedade de deslocamento da saída conforme mostrado acima.

Resposta

O sistema é linear e invariante a deslocamentos.

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