Qual ou quais sistemas abaixo são lineares e invariantes a deslocamentos?
Passo 1
O enunciado dá um sistema que associa a uma função de duas variáveis
outra função
definida por
Perguntas que precisamos responder:
- O sistema é linear?
- O sistema é invariante a deslocamentos (em
)?
Informações relevantes do enunciado:
- A integração é feita em relação à variável
sobre . - A variável
aparece na integranda, a variável não aparece na integranda (logo pode depender de e, aparentemente, é constante em para cada ).
Passo 2
Definição e ideia para linearidade (aula rápida e amigável).
- Um sistema
que transforma em é linear se para quaisquer funções e quaisquer escalares valem:
- Intuitivamente: linearidade significa que a operação respeita soma e multiplicação por constantes — dá para distribuir a operação sobre combinações lineares.
Passo 3
Verificação direta da linearidade para o sistema dado.
- Seja
o operador definido por . - Tome duas funções
e escalares . Calcule :
- Usando a linearidade da integral (podemos tirar constantes e separar a soma dentro da integral),
- Isso é exatamente
- Conclusão:
é linear. (Comentário amigo: a integral sobre é uma operação linear, então era de se esperar — mas é bom mostrar passo a passo.)
Passo 4
Definição e ideia para invariância a deslocamentos (aula rápida e amigável).
- Para um sistema ser invariante a deslocamentos (também chamado LTI em sinais), devemos ter, para qualquer deslocamento
,
- Ou seja: deslocar a entrada e depois aplicar o sistema é o mesmo que aplicar o sistema e depois deslocar o resultado.
Passo 5
Verificação direta da invariância a deslocamentos para o sistema dado.
- Começamos computando a saída do sistema quando a entrada é a função deslocada
:
- Façamos a mudança de variável
. Então e quando varia em também varia em . Assim
- Note que a expressão do lado direito é exatamente
avaliada em ? Vamos comparar explicitamente:
- Como a variável de integração é dummy (a letra usada não importa), temos
- Portanto
- Isso mostra que deslocar a entrada por
resulta em uma saída que é a mesma saída não deslocada porém deslocada por . Logo o sistema é invariante a deslocamentos.
Observação intuitiva (amigável): a integral sobre toda a reta em
“anula” o efeito do deslocamento em
depois que fazemos a mudança de variável; e o deslocamento em
aparece naturalmente como mudança do argumento da saída.
Passo 6
Resumo didático e pequeno exemplo para fixar.
- Resumo: o operador é uma integração linear em
com limites fixos; tais integrais são lineares, e como os limites não dependem de e a mudança de variável elimina o deslocamento em , o operador também é invariante a deslocamentos em . - Exemplo rápido: se
, então
que na prática diverge (só um exemplo formal), mas se pegássemos uma função integrável em
(por ex.
) veríamos que deslocar a função em
apenas muda a variável integrada e não altera a propriedade de deslocamento da saída conforme mostrado acima.
Resposta
O sistema é linear e invariante a deslocamentos.