Qual ou quais sistemas abaixo são lineares e invariantes a deslocamentos?
g(x, y)=f(x,-1)+f(0, y)

Passo 1

O enunciado dá um sistema que transforma uma função entrada f(x,y) em uma saída g(x,y) pela fórmula
g(x,y)=f(x,-1)+f(0,y).
As perguntas que precisamos responder são: o sistema é linear? e o sistema é invariante a deslocamentos?
Informações relevantes: a expressão acima é válida para todo par (x,y); não há outras condições dadas.

Passo 2

O que significa ser linear (explicação didática)?
Um sistema T que associa f\mapsto T\{f\} é linear se satisfaz duas propriedades combinadas (superposição):
  1. aditividade: para quaisquer sinais f_1,f_2,
T\{f_1+f_2\}=T\{f_1\}+T\{f_2\};
  1. homogeneidade (ou escala): para qualquer escalar a e qualquer f,
T\{a f\}=a\,T\{f\}.
Juntas, essas propriedades equivalem a: para quaisquer escalares a,b e sinais f_1,f_2,
T\{a f_1 + b f_2\} = a\,T\{f_1\} + b\,T\{f_2\}.
Para testar linearidade, aplicamos T a uma combinação linear e comparamos com a combinação dos resultados.

Passo 3

Testando linearidade no sistema dado (resolução passo a passo): seja T o operador definido por T\{f\}(x,y)=f(x,-1)+f(0,y). Tome duas entradas f_1 e f_2. Calcule T\{f_1+f_2\}:
T\{f_1+f_2\}(x,y) = (f_1+f_2)(x,-1) + (f_1+f_2)(0,y).
Usando a propriedade distributiva da soma em funções, isso é
T\{f_1+f_2\}(x,y) = f_1(x,-1)+f_2(x,-1) + f_1(0,y)+f_2(0,y).
Agrupando termos de f_1 e f_2,
T\{f_1+f_2\}(x,y) = \big(f_1(x,-1)+f_1(0,y)\big) + \big(f_2(x,-1)+f_2(0,y)\big).
Mas cada par entre parênteses é exatamente T\{f_1\}(x,y) e T\{f_2\}(x,y). Logo
T\{f_1+f_2\} = T\{f_1\} + T\{f_2\}.
Seja agora a um escalar. Calcule T\{a f\}:
T\{a f\}(x,y) = (a f)(x,-1) + (a f)(0,y) = a f(x,-1) + a f(0,y) = a\big(f(x,-1)+f(0,y)\big)=a\,T\{f\}(x,y).
Portanto o operador respeita aditividade e homogeneidade, ou seja, é linear.

Passo 4

O que significa ser invariante a deslocamentos (explicação didática)?
Definimos o deslocamento (ou translação) por um vetor (x_0,y_0) assim: o sinal deslocado é
f_{(x_0,y_0)}(x,y)=f(x-x_0,y-y_0).
Um sistema T é invariante a deslocamentos se, para todo f e todo deslocamento (x_0,y_0),
T\{f_{(x_0,y_0)}\}(x,y)=\big(T\{f\}\big)_{(x_0,y_0)}(x,y),
isto é, aplicar a translação na entrada e depois o sistema dá o mesmo resultado que aplicar o sistema primeiro e depois transladar a saída. Em símbolos:
T\{f(\cdot - x_0,\cdot - y_0)\}(x,y) = T\{f\}(x-x_0,y-y_0).

Passo 5

Teste de invariância a deslocamentos por cálculo algébrico (passo a passo). Seja um deslocamento arbitrário (x_0,y_0). Defina f_{(x_0,y_0)}(x,y)=f(x-x_0,y-y_0). Calcule a saída quando a entrada é f_{(x_0,y_0)}:
T\{f_{(x_0,y_0)}\}(x,y) = f_{(x_0,y_0)}(x,-1) + f_{(x_0,y_0)}(0,y).
Substituindo a definição de f_{(x_0,y_0)},
T\{f_{(x_0,y_0)}\}(x,y) = f(x-x_0,-1-y_0) + f(-x_0,y-y_0).
Agora calcule a saída transladada: primeiro aplique T a f e depois translade o resultado em (x_0,y_0):
\big(T\{f\}\big)_{(x_0,y_0)}(x,y) = T\{f\}(x-x_0,y-y_0).
Mas
T\{f\}(x-x_0,y-y_0) = f(x-x_0,-1) + f(0,y-y_0).
Para que o sistema seja invariante a deslocamentos, as duas expressões devem ser iguais para todo f, ou seja, para todo x,y e todo f precisamos ter
f(x-x_0,-1-y_0) + f(-x_0,y-y_0) \equiv f(x-x_0,-1) + f(0,y-y_0).
Isso deveria valer para qualquer função f. Para que isso ocorra seria necessário, por exemplo, que para todo u,v
f(u,-1-y_0)=f(u,-1)\quad\text{e}\quad f(-x_0,v)=f(0,v),
o que não é verdade em geral (salvo casos triviais de x_0=y_0=0 ou funções muito especiais). Portanto, em geral o sistema não é invariante a deslocamentos.

Passo 6

Contraexemplo explícito (mostrando na prática que falha): escolha um deslocamento simples (x_0,y_0)=(0,1). Escolha uma função simples, por exemplo f(x,y)=y (toda matemática entre em TeX). Primeiro calcule T\{f_{(0,1)}\}: a entrada deslocada é f_{(0,1)}(x,y)=f(x,y-1)=y-1. Logo
T\{f_{(0,1)}\}(x,y)=f_{(0,1)}(x,-1)+f_{(0,1)}(0,y)=(-1-1)+(y-1)=y-3.
Agora calcule a saída transladada: primeiro T\{f\}(x,y)=f(x,-1)+f(0,y)=-1+y, então translada em (0,1):
\big(T\{f\}\big)_{(0,1)}(x,y)=T\{f\}(x,y-1) = -1 + (y-1)=y-2.
Temos y-3 \neq y-2, logo para essa entrada e esse deslocamento o resultado difere; isto prova que o sistema não é invariante a deslocamentos.

Passo 7

Interpretação intuitiva e conclusão prática: o sistema constrói a saída somando duas amostras fixas da entrada — uma amostra ao longo da linha y=-1 com variável x, e outra ao longo da coluna x=0 com variável y. Como as amostras são tomadas em pontos fixos (x,-1) e (0,y), deslocar a entrada muda como esses pontos se alinham e não corresponde a simplesmente deslocar a saída. Por isso o sistema quebra a propriedade de invariância a deslocamentos, embora preserve a linearidade (superposição).

Resposta

Linear; não invariante a deslocamentos.

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