Qual ou quais sistemas abaixo são lineares e invariantes a deslocamentos?
Passo 1
O enunciado dá um sistema que transforma uma função entrada
em uma saída
pela fórmula
As perguntas que precisamos responder são: o sistema é linear? e o sistema é invariante a deslocamentos?
Informações relevantes: a expressão acima é válida para todo par ; não há outras condições dadas.
Informações relevantes: a expressão acima é válida para todo par
Passo 2
O que significa ser linear (explicação didática)?
Um sistema que associa
é linear se satisfaz duas propriedades combinadas (superposição):
Um sistema
- aditividade: para quaisquer sinais
,
- homogeneidade (ou escala): para qualquer escalar
e qualquer ,
Juntas, essas propriedades equivalem a: para quaisquer escalares
e sinais
,
Para testar linearidade, aplicamos
a uma combinação linear e comparamos com a combinação dos resultados.
Passo 3
Testando linearidade no sistema dado (resolução passo a passo): seja
o operador definido por
. Tome duas entradas
e
. Calcule
:
Usando a propriedade distributiva da soma em funções, isso é
Agrupando termos de
e
,
Mas cada par entre parênteses é exatamente
e
. Logo
Seja agora
um escalar. Calcule
:
Portanto o operador respeita aditividade e homogeneidade, ou seja, é linear.
Passo 4
O que significa ser invariante a deslocamentos (explicação didática)?
Definimos o deslocamento (ou translação) por um vetor assim: o sinal deslocado é
Definimos o deslocamento (ou translação) por um vetor
Um sistema
é invariante a deslocamentos se, para todo
e todo deslocamento
,
isto é, aplicar a translação na entrada e depois o sistema dá o mesmo resultado que aplicar o sistema primeiro e depois transladar a saída. Em símbolos:
Passo 5
Teste de invariância a deslocamentos por cálculo algébrico (passo a passo). Seja um deslocamento arbitrário
. Defina
. Calcule a saída quando a entrada é
:
Substituindo a definição de
,
Agora calcule a saída transladada: primeiro aplique
a
e depois translade o resultado em
:
Mas
Para que o sistema seja invariante a deslocamentos, as duas expressões devem ser iguais para todo
, ou seja, para todo
e todo
precisamos ter
Isso deveria valer para qualquer função
. Para que isso ocorra seria necessário, por exemplo, que para todo
o que não é verdade em geral (salvo casos triviais de
ou funções muito especiais). Portanto, em geral o sistema não é invariante a deslocamentos.
Passo 6
Contraexemplo explícito (mostrando na prática que falha): escolha um deslocamento simples
. Escolha uma função simples, por exemplo
(toda matemática entre
em TeX). Primeiro calcule
: a entrada deslocada é
. Logo
Agora calcule a saída transladada: primeiro
, então translada em
:
Temos
, logo para essa entrada e esse deslocamento o resultado difere; isto prova que o sistema não é invariante a deslocamentos.
Passo 7
Interpretação intuitiva e conclusão prática: o sistema constrói a saída somando duas amostras fixas da entrada — uma amostra ao longo da linha
com variável
, e outra ao longo da coluna
com variável
. Como as amostras são tomadas em pontos fixos
e
, deslocar a entrada muda como esses pontos se alinham e não corresponde a simplesmente deslocar a saída. Por isso o sistema quebra a propriedade de invariância a deslocamentos, embora preserve a linearidade (superposição).
Resposta
Linear; não invariante a deslocamentos.