Encontre as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções.
F(s)=\frac{1}{s(s-3)}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{1}{s(s-3)}.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais e uso de tabelas de transformadas de Laplace inversas: sabemos que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}(t)=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}(t)=e^{a t}.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais: suponha
\frac{1}{s(s-3)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-3)\), obtemos \[1 = A(s-3) + B\,s = (A+B)\,s - 3A.
Comparando coeficientes de s e termo constante:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -3A = 1, \end{cases}
logo A=-\tfrac{1}{3}\] e \(B=+\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Reescrevendo
F(s) = -\frac{1}{3}\,\frac{1}{s} + \frac{1}{3}\,\frac{1}{s-3},
aplicamos a transformada inversa termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) = -\tfrac{1}{3}\,\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}(t) + \tfrac{1}{3}\,\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-3}\}(t) = -\tfrac{1}{3}\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\,e^{3t}.

Resposta

f(t) = \frac{1}{3}\,e^{3t} - \frac{1}{3},\qquad t\ge0.

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