Encontre c in] a, b[ como no TVM para:
f(x)=ln x ; a=2 ; b=10.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Médio (TVM) na função f(x)=ln x no intervalo [a,b]=[2,10]. Pelo TVM, existe cin(2,10) tal que
f'(c)=f(b)-f(a)b-a
Vamos calcular o quociente de variação e igualar à derivada.

Passo 2

Calculamos f(a), f(b) e o quociente de variação:
f(2)=ln2, f(10)=ln10,
f(b)-f(a)b-a =ln10-ln210-2 =ln(10/2)8 =ln58

Passo 3

A derivada de f(x)=ln x é
f'(x)=1x
Logo, pelo TVM, deve satisfazer
1c=ln58
Resolvendo para c
c=8ln5

Passo 4

Verificamos que ln5approx1,609, então
capprox81,609approx4,97,
que realmente está no intervalo (2,10), conforme exigido pelo TVM.

Resposta

c = 8ln5

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