( 1,0 ponto) Considere o
-espaço vetorial
, dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , com o seguinte produto interno:
Seja
o subespaço vetorial de
gerado pelos polinômios
e
. Calcule
(o ortogonal de
).
Passo 1
O enunciado pede o ortogonal de
em com o produto interno
em
Aqui temos
e
. Para achar
precisamos de todos os polinômios
tais que
e
.
tais que
Passo 2
Escrevemos as duas condições de ortogonalidade:
Passo 3
Vamos converter em equações lineares para
. Primeiro
Segundo, usando
e já sabendo que
, temos
Passo 4
Multiplicando a primeira por 12 e a segunda por 60, obtemos o sistema
Subtraindo adequadamente e resolvendo, chega-se a
Passo 5
Substituindo em
resulta
Ou seja,
é o espaço gerado por esses dois polinômios independentes.