( 1,0 ponto) Considere o R-espaço vetorial P3(R), dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , com o seguinte produto interno:
lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t, f, g in P3(R)
Seja W o subespaço vetorial de P3(R) gerado pelos polinômios u(t)=5 e v(t)=1+t. Calcule W^perp (o ortogonal de W ).

Passo 1

O enunciado pede o ortogonal de
W=spanu,v
em P3(R) com o produto interno
lang<= f,grang<==integral0^1f(t),g(t),dt
Aqui temos u(t)=5 e v(t)=1+t. Para achar W^perp precisamos de todos os polinômios
p(t)=a,t^3+b,t^2+c,t+d
tais que
lang<= p,urang<==0 e lang<= p,vrang<==0.

Passo 2

Escrevemos as duas condições de ortogonalidade:
lang<= p,urang<==integral0^1p(t)cdot5,dt=5integral0^1p(t),dt=0,
lang<= p,vrang<==integral0^1p(t),(1+t),dt=0

Passo 3

Vamos converter em equações lineares para a,b,c,d. Primeiro
integral0^1p(t),dt =integral0^1l(a,t^3+b,t^2+c,t+dr),dt =a4+b3+c2+d=0
Segundo, usando integral0^1p(t),(1+t)dt=integral0^1p(t)dt+integral0^1t,p(t)dt e já sabendo que integral0^1p(t)dt=0, temos
integral0^1t,p(t),dt =integral0^1l(a,t^4+b,t^3+c,t^2+d,tr),dt =a5+b4+c3+d2=0

Passo 4

Multiplicando a primeira por 12 e a segunda por 60, obtemos o sistema
3a+4b+6c+12d=0, 12a+15b+20c+30d=0
Subtraindo adequadamente e resolvendo, chega-se a
c=-910a - b, d=15a + 16b

Passo 5

Substituindo em p(t) resulta
p(t) =al(t^3-tfrac910t+tfrac15r) + bl(t^2-t+tfrac16r)
Ou seja, W^perp é o espaço gerado por esses dois polinômios independentes.

Resposta

W^perp =spanl,t^3-tfrac910t+tfrac15,;t^2-t+tfrac16r

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