( 1,0 ponto) Considere o -espaço vetorial , dos polinômios de grau menor ou igual a 2 , e a transformação linear determinada por e .
(a) Encontre o núcleo e a imagem da transformação ;
(b) Esta transformação é injetiva, sobrejetiva, bijetiva? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado considera o -espaço vetorial , dos polinômios de grau , e a transformação linear
definida pelos valores em uma base de :
Precisamos encontrar (a) o núcleo e a imagem ; (b) verificar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Usaremos definição de núcleo e imagem, e o teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Para achar o núcleo, escrevemos um vetor genérico
Reescrevendo em potências de :
Queremos (polinômio nulo), logo cada coeficiente deve ser zero:
Da primeira equação ; e a terceira fica , ok. Assim
Passo 3
A imagem de é o subespaço gerado pelos vetores e em :
Para ver que são independentes, considere
Isso dá o sistema , que força . Logo e
Passo 4
Pelo teorema do posto-nulidade em R^2:
dimker(T)+dimIm(T)=2
Aqui dimker(T)=0 e dimIm(T)=2, soma 2, ok.
– Injetividade: ker(T)=0 implica que T é injetiva.
– Sobrejetividade: dimIm(T)=2<dimP2(R)=3, logo não é sobrejetiva.
– Bijetividade: para ser bijetiva precisaria ser injetiva e sobrejetiva simultaneamente; como não é sobrejetiva, também não é bijetiva.
Resposta
O núcleo é .
A imagem é . é injetiva, não é sobrejetiva e, portanto, não é bijetiva.