( 1,0 ponto) Considere o R-espaço vetorial P2(R), dos polinômios de grau menor ou igual a 2 , e a transformação linear T: R^2 P2(R) determinada por T(1,0)=1-t e T(0,1)=1-t^2.
(a) (0,5) Encontre o núcleo e a imagem da transformação T;
(b) (0,5) Esta transformação é injetiva, sobrejetiva, bijetiva? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado considera o R-espaço vetorial P2(R), dos polinômios de grau <=2, e a transformação linear
Tcolon R^2 to P2(R)
definida pelos valores em uma base de R^2:
T(1,0)=1-t, T(0,1)=1-t^2
Precisamos encontrar (a) o núcleo ker(T) e a imagem Im(T); (b) verificar se T é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. Usaremos definição de núcleo e imagem, e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Para achar o núcleo, escrevemos um vetor genérico
Reescrevendo em potências de :
Queremos (polinômio nulo), logo cada coeficiente deve ser zero:
Da primeira equação ; e a terceira fica , ok. Assim

Passo 3

A imagem de é o subespaço gerado pelos vetores e em :
Para ver que são independentes, considere
Isso dá o sistema
, que força . Logo e

Passo 4

Pelo teorema do posto-nulidade em R^2:
dimker(T)+dimIm(T)=2
Aqui dimker(T)=0 e dimIm(T)=2, soma 2, ok.
– Injetividade: ker(T)=0 implica que T é injetiva.
– Sobrejetividade: dimIm(T)=2<dimP2(R)=3, logo não é sobrejetiva.
– Bijetividade: para ser bijetiva precisaria ser injetiva e sobrejetiva simultaneamente; como não é sobrejetiva, também não é bijetiva.

Resposta

O núcleo é .
A imagem é .
é injetiva, não é sobrejetiva e, portanto, não é bijetiva.

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