Encontre, usando o método de integração de substituição trigonométrica, as integrais indefinidas:
integral 1raizx^2+9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1raizx^2+9,dx
usando o método de substituição trigonométrica. Aqui reconhecemos a forma raizx^2+a^2 com a=3, o que sugere a substituição
x = 3tantheta

Passo 2

Fazendo x = 3tantheta, temos
dx = 3sec^2!theta,dtheta,
e
raizx^2+9 = raiz9tan^2theta + 9 = 3sectheta
Substituindo na integral, obtemos
integral 1raizx^2+9,dx = integral 13sectheta,l(3sec^2!theta,dthetar) = integral sectheta,dtheta

Passo 3

Sabemos que
integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 4

Voltando à variável x, usamos
tantheta = x3, sectheta = raizx^2+93
Logo,
lnl|sectheta + tanthetar| = ln!l|raizx^2+93 + x3r| = lnl|x + raizx^2+9r| - ln 3
Como -ln 3 é apenas uma constante, absorvemos esse termo em C.

Resposta

integral 1raizx^2+9,dx = lnl|x + raizx^2+9r| + C

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