Encontre o valor aproximado de e^-0.04, com erro menor do que 5 cdot 10^-4. ( e^-0.04 simeq 0.9608, Err

Passo 1

O enunciado pede para aproximar e^-0.04 de forma que o erro seja menor que 5times10^-4. Vamos usar a série de Taylor (Maclaurin) de e^x em torno de 0 e o resto de Lagrange para garantir o erro.

Passo 2

A série de Taylor de e^x em torno de 0 é
e^x = sumk=0^n x^kk! + Rn(x),
onde o resto de Lagrange satisfaz
|Rn(x)| <= M|x|^n+1(n+1)!,
e M = maxtin[0,x]e^t. Como x=-0.04, temos M=e^0=1.

Passo 3

Vamos testar com o polinômio de grau 2 (isto é, até k=2):
T2 = 1 + x + x^22! = 1 - 0.04 + (-0.04)^22 = 1 - 0.04 + 0.0008 = 0.9608

Passo 4

Agora estimamos o resto R2 usando
|R2(-0.04)| <= |(-0.04)|^33! = 0.04^36 = 0.0000646 approx 1.0667times10^-5
Esse valor é bem menor que 5times10^-4, logo atendemos à exigência de erro.

Passo 5

Concluímos que a aproximação $e^{-0.04} \approx 0.9608$ tem erro menor que e^-0.04 approx 0.9608.

Resposta

e^{-0.04} \approx 0.9608

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