Com o auxílio da série de potências de arctan (x) (veja ex. 6e), mostre que pi6=1raiz3 sumn=0^infty(-1)^n 13^n(2 n+1) e aproxime pi4 usando os cinco primeiros termos da série de arctan (x), estimando o valor do erro.

Passo 1

O exercício pede duas coisas: (a) mostrar que pi6=1raiz3sumn=0^infty(-1)^n13^n(2n+1) usando a série de potências de arctan(x) e (b) aproximar pi4 pelos cinco primeiros termos dessa série, estimando o erro.

Passo 2

A série de Taylor centrada em zero para arctan(x) é válida em -1<= x<=1 e dada por
arctan(x)=sumn=0^infty(-1)^nx^2n+12n+1

Passo 3

Como arctan(1/raiz3)=pi/6, basta substituir x=1/raiz3 na série. Ficamos com
arctan(1/raiz3)=sumn=0^infty(-1)^n(1/raiz3)^2n+12n+1

Passo 4

Reescrevendo (1/raiz3)^2n+1=(1/3^n)(1/raiz3), obtemos
pi6=sumn=0^infty(-1)^n12n+113^n1raiz3 =1raiz3sumn=0^infty(-1)^n13^n(2n+1)

Passo 5

Para aproximar pi/4 usamos que pi/4=arctan(1) e a mesma série com x=1:
pi4=sumn=0^infty(-1)^n12n+1

Passo 6

Os cinco primeiros termos (de n=0 a 4) são
1-tfrac13+tfrac15-tfrac17+tfrac19=0.8349206(aprox)

Passo 7

Pelo critério da série alternada, o erro em módulo ao truncar depois de n=4 é menor que o módulo do próximo termo suprimido, que é tfrac12cdot5+1=tfrac111approx0.09091.

Resposta

A identidade fica
pi6=1raiz3sumn=0^infty(-1)^n13^n(2n+1)
E a aproximação de pi4 pelos cinco primeiros termos é
pi4approx1-tfrac13+tfrac15-tfrac17+tfrac19=0.8349206,
com erro em valor absoluto menor que tfrac111approx0.09091.

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