Com o auxílio da série de potências de
(veja ex. 6e), mostre que
e aproxime
usando os cinco primeiros termos da série de
, estimando o valor do erro.
Passo 1
O exercício pede duas coisas: (a) mostrar que
usando a série de potências de
e (b) aproximar
pelos cinco primeiros termos dessa série, estimando o erro.
Passo 2
A série de Taylor centrada em zero para
é válida em
e dada por
Passo 3
Como
, basta substituir
na série. Ficamos com
Passo 4
Reescrevendo
, obtemos
Passo 5
Para aproximar
usamos que
e a mesma série com
:
Passo 6
Os cinco primeiros termos (de
a
) são
Passo 7
Pelo critério da série alternada, o erro em módulo ao truncar depois de
é menor que o módulo do próximo termo suprimido, que é
.
Resposta
A identidade fica
E a aproximação de
pelos cinco primeiros termos é
com erro em valor absoluto menor que
.