1. Encontre o valor aproximado dos logaritmos abaixo com 3 casas decimais.
(b) \log _{3} \frac{1}{5}

Passo 1

O enunciado pede o valor aproximado, com três casas decimais, de
\log_{3}\!\left(\frac{1}{5}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão a avaliar é exatamente \log_{3}\!\left(\dfrac{1}{5}\right).
  • O objetivo é dar um valor numérico aproximado com três casas decimais.

Passo 2

Usar propriedades básicas de logaritmo para simplificar a expressão antes de calcular:
  • Propriedade: \log_{a}\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\log_{a}x-\log_{a}y.
  • Propriedade: \log_{a}1=0.
Aplicando essas propriedades:
\log_{3}\!\left(\frac{1}{5}\right)=\log_{3}1-\log_{3}5=0-\log_{3}5=-\log_{3}5.
Então basta calcular \log_{3}5 e colocar o sinal negativo.

Passo 3

Aplicar a fórmula de mudança de base (útil para calcular com tabelas ou valores conhecidos):
\log_{3}5=\frac{\log_{10}5}{\log_{10}3},
onde \log_{10} é o logaritmo decimal (base 10). Explicando a fórmula: para quaisquer bases a e b e número x>0,
\log_{a}x=\frac{\log_{b}x}{\log_{b}a}.
Aqui escolhemos b=10 porque existem valores conhecidos para \log_{10}2 e \log_{10}3.

Passo 4

Obter valores numéricos conhecidos (tabelas básicas de log):
  • \log_{10}2 \approx 0,301030.
  • \log_{10}3 \approx 0,477121.
Usar que 5=10/2 para achar \log_{10}5:
\log_{10}5=\log_{10}\!\left(\frac{10}{2}\right)=\log_{10}10-\log_{10}2=1-0,301030=0,698970.

Passo 5

Agora calcular \log_{3}5 com os valores obtidos:
\log_{3}5=\frac{0,698970}{0,477121}.
Fazendo a divisão (pode-se verificar com cálculo manual ou calculadora), obtém-se
\log_{3}5\approx 1,464973521\ldots

Passo 6

Lembrar que o valor pedido é -\log_{3}5. Logo
\log_{3}\!\left(\frac{1}{5}\right)=-\log_{3}5\approx -1,464973521\ldots

Passo 7

Arredondar para três casas decimais: olhar a quarta casa decimal (que é 9), então a terceira casa ( 4) aumenta em 1. Assim o resultado com três casas decimais é
-1,465.

Resposta

-1,465

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