- Encontre as soluções das equações abaixo.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as soluções da equação
Informações que temos:
- A incógnita é
(número real). - A expressão do lado esquerdo é
, uma função exponencial com base . - O lado direito é o número
.
O objetivo é determinar todos os valores deque satisfazem essa igualdade.
Passo 2
Observações úteis antes de começar a manipular:
- Para qualquer
vale . Assim . - O número
é maior que , então é possível haver soluções reais (não há contradição imediata). - A função
com , , é estritamente crescente em quando . Isso significa que podemos aplicar logaritmos de forma segura para “descer” o expoente: se então ; mais geralmente, se com , podemos escrever .
Passo 3
Aplicando a definição de logaritmo: se
então
.
Aqui temos . Tomando logaritmo na base
dos dois lados (ou seja, aplicando
):
Aqui temos
Expliquei isso porque tomar logaritmo desfaz a potência: a incógnita estava no expoente (dentro de
), tomar
transforma a equação exponencial numa equação algébrica para
.
Passo 4
Agora resolvemos
.
Para encontrar tomamos raiz quadrada em ambos os lados, lembrando que existem duas raízes (positiva e negativa):
Para encontrar
Aqui a raiz quadrada
indica a raiz principal (não-negativa) e o sinal
cobre as duas soluções simétricas por causa do quadrado.
Passo 5
Para escrever
numa forma que muitos conseguem avaliar com tabelas ou calculadora, usamos a fórmula de mudança de base:
onde
é o logaritmo natural (base
). A fórmula vem de
. Assim outra forma equivalente da solução é
Passo 6
Agora uma aproximação numérica rápida para ter uma noção do valor:
- Sabendo que
, - Temos
.
Arredondando, obtemos
Passo 7
Cheque rápido (só para intuição): elevando
ao quadrado do valor aproximado,
o que confirma que as aproximações estão coerentes. Vai dar certo na prova: a ideia é tomar logaritmo para “trazer o expoente para baixo” e depois extrair raiz quadrada.