1. Encontre as soluções das equações abaixo.
(d) 2^{x^{2}}=3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as soluções da equação
2^{x^{2}} = 3.
Informações que temos:
  • A incógnita é x (número real).
  • A expressão do lado esquerdo é 2^{x^{2}}, uma função exponencial com base 2.
  • O lado direito é o número 3.
    O objetivo é determinar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade.

Passo 2

Observações úteis antes de começar a manipular:
  • Para qualquer x\in\mathbb{R} vale x^{2}\ge 0. Assim 2^{x^{2}}\ge 2^{0}=1.
  • O número 3 é maior que 1, então é possível haver soluções reais (não há contradição imediata).
  • A função a^{y} com a>0, a\neq1, é estritamente crescente em y quando a>1. Isso significa que podemos aplicar logaritmos de forma segura para “descer” o expoente: se a^{u}=a^{v} então u=v; mais geralmente, se a^{u}=b com a>0, podemos escrever u=\log_{a} b.

Passo 3

Aplicando a definição de logaritmo: se a^{y}=b então y=\log_{a} b.
Aqui temos 2^{x^{2}}=3. Tomando logaritmo na base 2 dos dois lados (ou seja, aplicando \log_{2}):
x^{2} = \log_{2} 3.
Expliquei isso porque tomar logaritmo desfaz a potência: a incógnita estava no expoente (dentro de x^{2}), tomar \log_{2} transforma a equação exponencial numa equação algébrica para x^{2}.

Passo 4

Agora resolvemos x^{2} = \log_{2} 3.
Para encontrar x tomamos raiz quadrada em ambos os lados, lembrando que existem duas raízes (positiva e negativa):
x = \pm \sqrt{\log_{2} 3}.
Aqui a raiz quadrada \sqrt{\cdot} indica a raiz principal (não-negativa) e o sinal \pm cobre as duas soluções simétricas por causa do quadrado.

Passo 5

Para escrever \log_{2} 3 numa forma que muitos conseguem avaliar com tabelas ou calculadora, usamos a fórmula de mudança de base:
\log_{2} 3 = \frac{\ln 3}{\ln 2},
onde \ln é o logaritmo natural (base e). A fórmula vem de \log_{a} b = \dfrac{\ln b}{\ln a}. Assim outra forma equivalente da solução é
x = \pm \sqrt{\dfrac{\ln 3}{\ln 2}}.

Passo 6

Agora uma aproximação numérica rápida para ter uma noção do valor:
  • Sabendo que \dfrac{\ln 3}{\ln 2}\approx 1{,}5849625,
  • Temos \sqrt{1{,}5849625}\approx 1{,}2599210.
    Arredondando, obtemos
x \approx \pm 1{,}2599.

Passo 7

Cheque rápido (só para intuição): elevando 2 ao quadrado do valor aproximado,
2^{(1{,}2599)^{2}}\approx 2^{1{,}587}\approx 3,
o que confirma que as aproximações estão coerentes. Vai dar certo na prova: a ideia é tomar logaritmo para “trazer o expoente para baixo” e depois extrair raiz quadrada.

Resposta

x=\pm\sqrt{\log_{2}3}
x\approx\pm 1{,}2599

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