Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata
\left(y^{3}+k x y^{4}-2 x\right) d x+\left(3 x y^{2}+20 x^{2} y^{3}\\right) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de k que torna a equação diferencial
\bigl(y^{3}+kxy^{4}-2x\bigr)\,dx \;+\;\bigl(3xy^{2}+20x^{2}y^{3}\bigr)\,dy=0
exata. O conteúdo principal aqui é o teste de exatidão, que diz que um diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exato se e somente se
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y^{3} + kxy^{4} - 2x, \quad N(x,y) = 3xy^{2} + 20x^{2}y^{3}.
Agora calculamos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{3}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(kxy^{4}\bigr) - \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\bigr) = 3y^{2} + 4kxy^{3},
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3xy^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(20x^{2}y^{3}\bigr) = 3y^{2} + 40xy^{3}.

Passo 3

Para exatidão devemos ter
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\; \frac{\partial N}{\partial x},
ou seja,
3y^{2} + 4kxy^{3} \;=\; 3y^{2} + 40xy^{3}.
Cancelando 3y^{2} de ambos os lados e supondo xy^{3}\neq0, obtemos
4k = 40 \quad\Longrightarrow\quad k = 10.

Resposta

k = 10

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