Verifique se a equação dada é exata e em caso afirmativo, resolva-a.
\left(x^{3}+y^{3}\right) d x+3 x y^{2} d y=0;

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(x^{3}+y^{3})\,dx + 3x y^{2}\,dy = 0.
Este é um caso de equação de primeira ordem no formato
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde
M(x,y)=x^{3}+y^{3}, \quad N(x,y)=3x y^{2}.
O que vamos usar: (i) verificar se é exata conferindo \partial M/\partial y = \partial N/\partial x e, em caso afirmativo, (ii) achar a função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =3y^{2}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =3y^{2}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \psi(x,y) satisfazendo
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x:
\psi(x,y) =\int (x^{3}+y^{3})\,dx =\frac{x^{4}}{4}+x\,y^{3}+h(y),
onde h(y) é função arbitrária de y.

Passo 4

Impondo
\frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x,y),
têm-os
\frac{\partial \psi}{\partial y} =3x y^{2}+h'(y) \stackrel{!}{=}3x y^{2}.
Logo h'(y)=0, isto é, h(y) é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
\frac{x^{4}}{4}+x\,y^{3}=C,
ou equivalentemente
x^{4}+4x\,y^{3}=C',
onde C (ou C') é a constante de integração.

Exercícios relacionados