Encontre o valor exato de cada expressão.
\log _{10} 25+\log _{10} 4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato da expressão \log_{10}25+\log_{10}4.
Informações dadas: temos duas expressões logarítmicas na base 10, somadas entre si.

Passo 2

Lembra o que significa \log_{10}x: por definição, \log_{10}x é o número y tal que 10^{y}=x. Ou seja, \log_{10}x=y \iff 10^{y}=x. Isso nos diz como transformar entre potência de 10 e logaritmo de um número.

Passo 3

Uma propriedade importante dos logaritmos que vamos usar é a seguinte:
\log_{10}a+\log_{10}b=\log_{10}(a\cdot b).
Vou demonstrar rapidinho por que isso é verdadeiro: seja \log_{10}a=p e \log_{10}b=q. Então 10^{p}=a e 10^{q}=b. Multiplicando, 10^{p}10^{q}=ab, ou seja 10^{p+q}=ab. Pela definição de logaritmo, isso significa \log_{10}(ab)=p+q=\log_{10}a+\log_{10}b. Perfeito — somar logs = log do produto.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa expressão:
\log_{10}25+\log_{10}4=\log_{10}(25\cdot 4).

Passo 5

Calcule o produto 25\cdot 4. Temos 25\cdot 4=100. Então
\log_{10}(25\cdot 4)=\log_{10}100.

Passo 6

Agora avaliamos \log_{10}100. Observamos que 100=10^{2}. Pela propriedade \log_{10}(10^{k})=k, obtemos
\log_{10}100=\log_{10}(10^{2})=2.

Resposta

2

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