1. Um pequeno fabricante descobre que custa \ 9.000 para produzir 1.000 torradeiras elétricas em uma semana eé$12.000$ para produzir 1.500 torradeiras em uma semana.
    (a) Expresse o custo como uma função do número de torradeiras produzidas, supondo que ele é linear. A seguir, esboce o gráfico.
    (b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa?
    (c) Qual a intersecção do gráfico com o eixo y e o que ela representa?

Passo 1

O enunciado dá duas informações de custo semanal e pede três coisas:
  • Informações dadas:
    • Custa \$9{.}000 para produzir (1000) torradeiras em uma semana. Vou anotar o par como (1000,9000).
    • Custa \$12{.}000 para produzir (1500) torradeiras em uma semana. Vou anotar o par como (1500,12000).
  • Perguntas:
    (a) Expressar o custo como uma função do número de torradeiras produzidas, supondo que a função seja linear, e esboçar o gráfico.
    (b) Determinar a inclinação do gráfico e dizer o que ela representa.
    (c) Determinar a interseção com o eixo y e dizer o que ela representa.

Passo 2

Modelo linear que vamos usar: a relação custo versus quantidade é assumida da forma
C(x)=mx+b,
onde:
  • x é o número de torradeiras produzidas em uma semana (unidade: torradeiras),
  • C(x) é o custo em dólares (unidade: $),
  • m é a inclinação (slope), que mede quanto o custo aumenta por cada torradeira adicional (unidade: $/torradeira),
  • b é a interseção com o eixo y, que corresponde ao custo quando x=0 (unidade: $), isto é, custo fixo.
Explicando a ideia: uma função linear é uma reta; com dois pontos conhecidos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) podemos determinar m e b unicamente.

Passo 3

Calcular a inclinação m usando a fórmula da taxa de variação entre dois pontos:
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui (x_1,y_1)=(1000,9000) e (x_2,y_2)=(1500,12000). Substituindo:
m=\frac{12000-9000}{1500-1000}=\frac{3000}{500}.
Agora simplificamos:
\frac{3000}{500}=6.
Portanto m=6. Isso significa que, numericamente, a reta tem inclinação 6.

Passo 4

Calcular a interseção b. Usamos a forma C(x)=mx+b e um dos pontos para encontrar b. Usando (1000,9000):
9000 = 6\cdot 1000 + b.
Calculamos 6\cdot 1000 = 6000, então
9000 = 6000 + b \quad\Rightarrow\quad b = 9000-6000 = 3000.
Logo b=3000.

Passo 5

Escrever a função final e checar com o outro ponto (verificação importante na prova):
C(x)=6x+3000.
Verificação com (1500,12000):
C(1500)=6\cdot 1500 + 3000 = 9000 + 3000 = 12000,
que coincide com o dado. Tudo certo.

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
  • Desenhe dois eixos ortogonais: eixo horizontal para x (número de torradeiras) e eixo vertical para C (custo em $).
  • Marque o ponto onde a reta cruza o eixo y: (0,3000). Esse é o intercepto.
  • Marque os pontos fornecidos: (1000,9000) e (1500,12000).
  • Ligue esses pontos com uma régua — como a relação é linear, a reta passa por todos esses pontos.
  • Para indicar a inclinação, escolha um segmento entre (1000,9000) e (1500,12000): a subida (rise) é 3000 e o avanço (run) é 500, ou seja, subida/avanço =3000/500=6. Você pode desenhar um triângulo retângulo na reta para mostrar esse rise/run.
    Observação de escala: use uma escala que comporte valores até \,x=1500 e C=12000; por exemplo, cada 1 cm no eixo x = 250 torradeiras e cada 1 cm no eixo y = \$3000.

Passo 7

Interpretação da inclinação m:
  • Numérica: m=6.
  • Significado prático: a cada torradeira adicional produzida o custo total aumenta em \$6. Em termos econômicos isso representa o custo variável marginal por unidade (custo por torradeira produzida).

Passo 8

Interpretação da interseção com o eixo y:
  • Numérica: b=3000.
  • Significado prático: se a fábrica produz \,x=0 torradeiras numa semana, ainda assim há um custo de \$3000. Esse valor representa os custos fixos (despesas que ocorrem mesmo sem produção): aluguel, manutenção mínima, etc.

Resposta

(a) C(x)=6x+3000. Gráfico: reta passando por (0,3000), (1000,9000) e (1500,12000).
(b) Inclinação m=6; representa aumento de \$6 no custo por cada torradeira adicional produzida.
(c) Interseção com o eixo y: b=3000; representa o custo fixo \$3000 quando x=0.

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