- Um pequeno fabricante descobre que custa
9.000
$12.000$ para produzir 1.500 torradeiras em uma semana.
(a) Expresse o custo como uma função do número de torradeiras produzidas, supondo que ele é linear. A seguir, esboce o gráfico.
(b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa?
(c) Qual a intersecção do gráfico com o eixo y e o que ela representa?
(a) Expresse o custo como uma função do número de torradeiras produzidas, supondo que ele é linear. A seguir, esboce o gráfico.
(b) Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa?
(c) Qual a intersecção do gráfico com o eixo y e o que ela representa?
Passo 1
O enunciado dá duas informações de custo semanal e pede três coisas:
- Informações dadas:
- Custa
para produzir torradeiras em uma semana. Vou anotar o par como . - Custa
para produzir torradeiras em uma semana. Vou anotar o par como .
- Custa
- Perguntas:
(a) Expressar o custo como uma função do número de torradeiras produzidas, supondo que a função seja linear, e esboçar o gráfico.
(b) Determinar a inclinação do gráfico e dizer o que ela representa.
(c) Determinar a interseção com o eixoe dizer o que ela representa.
Passo 2
Modelo linear que vamos usar: a relação custo versus quantidade é assumida da forma
onde:
-
é o número de torradeiras produzidas em uma semana (unidade: torradeiras), -
é o custo em dólares (unidade: $), -
é a inclinação (slope), que mede quanto o custo aumenta por cada torradeira adicional (unidade: $/torradeira), -
é a interseção com o eixo , que corresponde ao custo quando (unidade: $), isto é, custo fixo.
Explicando a ideia: uma função linear é uma reta; com dois pontos conhecidos
e
podemos determinar
e
unicamente.
Passo 3
Calcular a inclinação
usando a fórmula da taxa de variação entre dois pontos:
Aqui
e
. Substituindo:
Agora simplificamos:
Portanto
. Isso significa que, numericamente, a reta tem inclinação
.
Passo 4
Calcular a interseção
. Usamos a forma
e um dos pontos para encontrar
. Usando
:
Calculamos
, então
Logo
.
Passo 5
Escrever a função final e checar com o outro ponto (verificação importante na prova):
Verificação com
:
que coincide com o dado. Tudo certo.
Passo 6
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe dois eixos ortogonais: eixo horizontal para
(número de torradeiras) e eixo vertical para (custo em $). - Marque o ponto onde a reta cruza o eixo
: . Esse é o intercepto. - Marque os pontos fornecidos:
e . - Ligue esses pontos com uma régua — como a relação é linear, a reta passa por todos esses pontos.
- Para indicar a inclinação, escolha um segmento entre
e : a subida (rise) é e o avanço (run) é , ou seja, subida/avanço . Você pode desenhar um triângulo retângulo na reta para mostrar esse rise/run.
Observação de escala: use uma escala que comporte valores atée ; por exemplo, cada 1 cm no eixo = torradeiras e cada 1 cm no eixo = .
Passo 7
Interpretação da inclinação
:
- Numérica:
. - Significado prático: a cada torradeira adicional produzida o custo total aumenta em
. Em termos econômicos isso representa o custo variável marginal por unidade (custo por torradeira produzida).
Passo 8
Interpretação da interseção com o eixo
:
- Numérica:
. - Significado prático: se a fábrica produz
torradeiras numa semana, ainda assim há um custo de . Esse valor representa os custos fixos (despesas que ocorrem mesmo sem produção): aluguel, manutenção mínima, etc.
Resposta
(a)
. Gráfico: reta passando por
,
e
.
(b) Inclinação ; representa aumento de
no custo por cada torradeira adicional produzida.
(c) Interseção com o eixo :
; representa o custo fixo
quando
.
(b) Inclinação
(c) Interseção com o eixo