Encontre o valor exato de cada expressão.
\operatorname{sen}\left(\cos ^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor exato da expressão \operatorname{sen}\big(\cos^{-1}\big(\tfrac{4}{5}\big)\big).
Informações dadas: \cos^{-1}\big(\tfrac{4}{5}\big) é o ângulo cujo cosseno vale \tfrac{4}{5}. Não há outras informações adicionais.

Passo 2

Definimos um ângulo para ficar mais claro. Seja \theta = \cos^{-1}\big(\tfrac{4}{5}\big). Pela definição de função inversa temos
\cos(\theta)=\tfrac{4}{5}.
O que a expressão original pede é \sin(\theta).

Passo 3

Vamos interpretar \cos(\theta)=\tfrac{4}{5} como as razões trigonométricas num triângulo retângulo: coloque o cateto adjacente a \theta com comprimento 4 e a hipotenusa com comprimento 5. Pelo teorema de Pitágoras (que diz que, num triângulo retângulo, \text{cateto}_1^2+\text{cateto}_2^2=\text{hipotenusa}^2) o cateto oposto tem comprimento
\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

A função \cos^{-1} fornece um ângulo \theta no intervalo [0,\pi]. Como \cos(\theta)=\tfrac{4}{5}>0, isso implica \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (primeiro quadrante), onde o seno é positivo. Portanto
\sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{3}{5}.

Passo 5

(Atalho / verificação) Usando a identidade trigonométrica \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1 e \cos(\theta)=\tfrac{4}{5}, temos
\sin(\theta)=\sqrt{1-\cos^2(\theta)}=\sqrt{1-\left(\tfrac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\tfrac{16}{25}}=\sqrt{\tfrac{9}{25}}=\tfrac{3}{5},
compatível com o resultado acima.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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