Encontre o valor exato de cada expressão. * utilizar propriedades de funções exponenciais e logaritmicas para encontrar o resultado sem calculadora.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o valor exato da expressão
Informações dadas: a base da exponencial é
(constante de Euler) e aparece o logaritmo natural
. Não há outras condições a fornecer.
Passo 2
Vamos lembrar e explicar as propriedades que vamos usar (tudo válido porque
, então
está definido):
- A função exponencial
e o logaritmo natural são funções inversas. Isso significa que, para todo ,
e também
para todo
.
- A propriedade de potência do logaritmo: para qualquer
e qualquer ,
Equivalente a isso é
- A regra das potências para exponenciais: para qualquer real
e ,
Essas três fórmulas são as ferramentas que vamos aplicar passo a passo.
Passo 3
Usando a propriedade do logaritmo que transforma um produto por constante em potência, escrevemos
Portanto a expressão original pode ser reescrita como
Passo 4
Agora aplicamos que
e
são inversas: para todo
,
Tomando
obtemos
Finalmente calculamos a potência:
Passo 5
(data-check) Verificamos a validade das operações: usamos
e
, que existem porque
. Tudo consistente.