Encontre o valor exato de cada expressão. * utilizar propriedades de funções exponenciais e logaritmicas para encontrar o resultado sem calculadora.
(a) e^{2 \ln 3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor exato da expressão
e^{2 \ln 3}.
Informações dadas: a base da exponencial é e (constante de Euler) e aparece o logaritmo natural \ln 3. Não há outras condições a fornecer.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar as propriedades que vamos usar (tudo válido porque 3>0, então \ln 3 está definido):
  • A função exponencial e^{x} e o logaritmo natural \ln x são funções inversas. Isso significa que, para todo x>0,
e^{\ln x}=x
e também
\ln\big(e^{y}\big)=y
para todo y\in\mathbb{R}.
  • A propriedade de potência do logaritmo: para qualquer a>0 e qualquer k\in\mathbb{R},
\ln\big(a^{k}\big)=k\ln a.
Equivalente a isso é
k\ln a=\ln\big(a^{k}\big).
  • A regra das potências para exponenciais: para qualquer real t e k,
e^{k t}=\big(e^{t}\big)^{k}.
Essas três fórmulas são as ferramentas que vamos aplicar passo a passo.

Passo 3

Usando a propriedade do logaritmo que transforma um produto por constante em potência, escrevemos
2\ln 3=\ln\big(3^{2}\big).
Portanto a expressão original pode ser reescrita como
e^{2\ln 3}=e^{\ln\big(3^{2}\big)}.

Passo 4

Agora aplicamos que e e \ln são inversas: para todo x>0,
e^{\ln x}=x.
Tomando x=3^{2} obtemos
e^{\ln\big(3^{2}\big)}=3^{2}.
Finalmente calculamos a potência:
3^{2}=9.

Passo 5

(data-check) Verificamos a validade das operações: usamos \ln 3 e \ln(3^{2}), que existem porque 3>0. Tudo consistente.

Resposta

9

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