QUESTÃO 6 (1,5 ponto)
Encontre o limite.
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{x-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \rightarrow \infty} e^{x-x^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a função exponencial com expoente x-x^{2}.
  • A variável x tende para +\infty.
    Pergunta: determinar o valor do limite quando x\to\infty.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento do expoente. Reescrevendo:
x-x^{2}=-x^{2}+x=-x(x-1).
Para x\to\infty temos x(x-1)\to\infty, portanto o expoente -x(x-1)\to -\infty. Em palavras: o termo -x^{2} domina e empurra o expoente para -\infty.
Explicação de por que isso basta: a função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua e estritamente crescente. Assim, se t\to -\infty então e^{t}\to 0. Logo, se o expoente tende a -\infty, a exponencial tende a 0.
Para dar uma justificativa um pouco mais rigorosa com desigualdade (útil na prova): para x\ge 2 vale x-1\ge x/2. Multiplicando por x\ge2 obtemos
x(x-1)\ge \frac{x^{2}}{2},
portanto, para x\ge2,
x-x^{2}=-x(x-1)\le -\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando a exponencial (função crescente) nas duas partes, obtemos para x\ge2:
0 \le e^{x-x^{2}} \le e^{-x^{2}/2}.
Sabemos que \lim_{x\to\infty} e^{-x^{2}/2}=0 porque o expoente -x^{2}/2\to -\infty. Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), segue que
\lim_{x\to\infty} e^{x-x^{2}} = 0.

Passo 3

Intuição rápida e motivadora: o termo quadrático -x^{2} vence o termo linear x quando x fica grande, fazendo o expoente ser muito negativo; exponencial de algo muito negativo fica muito perto de zero — portanto a função vai para zero.

Resposta

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