QUESTÃO 6 (1,5 ponto)
Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Informações dadas:
- A expressão é a função exponencial com expoente
. - A variável
tende para .
Pergunta: determinar o valor do limite quando.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento do expoente. Reescrevendo:
Para
temos
, portanto o expoente
. Em palavras: o termo
domina e empurra o expoente para
.
Explicação de por que isso basta: a função exponencial
é contínua e estritamente crescente. Assim, se
então
. Logo, se o expoente tende a
, a exponencial tende a
.
Para dar uma justificativa um pouco mais rigorosa com desigualdade (útil na prova): para
vale
. Multiplicando por
obtemos
portanto, para
,
Aplicando a exponencial (função crescente) nas duas partes, obtemos para
:
Sabemos que
porque o expoente
. Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), segue que
Passo 3
Intuição rápida e motivadora: o termo quadrático
vence o termo linear
quando
fica grande, fazendo o expoente ser muito negativo; exponencial de algo muito negativo fica muito perto de zero — portanto a função vai para zero.