QUESTÃO 6 (1,5 ponto)
Encontre o limite.
\lim _{x \rightarrow 1} e^{x^{1}-x}

Passo 1

O enunciado pede claramente para calcular o limite
\lim_{x\to 1} e^{x^{1}-x}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser avaliada é e^{x^{1}-x}.
  • O ponto de interesse é x\to 1.
    A pergunta é única: encontrar o valor desse limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do expoente antes de mais nada. Lembre que x^{1} significa "x elevado à potência 1", e para qualquer número real x vale a igualdade
x^{1}=x.
Portanto o expoente x^{1}-x fica
x^{1}-x = x - x.

Passo 3

Calcule x-x. Para qualquer valor de x temos
x - x = 0.
Logo o expoente da exponencial é exatamente 0 para todo x. Em particular, quando x se aproxima de 1 (ou para x=1), o expoente continua sendo 0.

Passo 4

Substituindo a simplificação na função, obtemos que a função original é identicamente igual a
e^{x^{1}-x} = e^{0}
para todo x. E conhecemos o valor de e^{0}: é 1.

Passo 5

Um lembrete didático importante: se uma função toma um valor constante num entorno do ponto (ou é uma função contínua e o valor do expoente converge para L), então o limite é simplesmente esse valor constante (ou e^{L}). Aqui não precisamos de teoremas complicados porque a expressão é exatamente constante igual a 1 em toda a vizinhança de x=1.
Exemplo extra rápido para fixar a ideia: \lim_{x\to 2} e^{x-2}=e^{0}=1. Mesmo tipo de raciocínio.

Resposta

1

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