Encontre o valor exato de cada uma das expressões, se não existir o valor diga por que o mesmo não está definido:
\cos \left(\cos ^{-1}(0.91)\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor exato de \cos\left(\cos^{-1}(0,91)\right). Informações dadas:
  • A expressão é \cos\left(\cos^{-1}(0,91)\right).
  • Deve-se indicar o valor exato ou justificar por que não está definido.

Passo 2

Entender o que significa \cos^{-1}: por definição, \cos^{-1} (arccos) é a função que associa a cada x\in[-1,1] o único ângulo \theta no intervalo [0,\pi] tal que \cos\theta = x.
Ou seja, se definimos
\theta = \cos^{-1}(0,91),
então \theta\in[0,\pi] e vale
\cos\theta = 0,91.

Passo 3

Usar a propriedade fundamental da composição cos(arccos(·)): para todo x no domínio de \cos^{-1}, isto é, para todo x\in[-1,1], tem-se
\cos\bigl(\cos^{-1}(x)\bigr)=x.
Explicação rápida do porquê: \cos^{-1}(x) retorna o ângulo \theta cujo cosseno é x; aplicar \cos a esse ângulo devolve exatamente x. (Observação útil: a inversa na outra ordem, \cos^{-1}(\cos\theta), só devolve \theta quando \theta\in[0,\pi].)

Passo 4

Verificar o domínio do caso concreto: 0,91 pertence a [-1,1], portanto \cos^{-1}(0,91) está bem definido (é algum ângulo em [0,\pi]). Aplicando a propriedade do passo anterior,
\cos\bigl(\cos^{-1}(0,91)\bigr)=0,91.

Passo 5

Se desejar uma forma racional exata, notar que 0,91=\dfrac{91}{100}. Portanto o valor exato pode ser escrito como \dfrac{91}{100}.

Resposta

\dfrac{91}{100}

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