Encontre o valor exato de cada uma das expressões, se não existir o valor diga por que o mesmo não está definido:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a expressão
O que é pedido: encontrar o valor exato dessa expressão, ou dizer por que não está definida. Informação importante que já vem implícita no símbolo
:
é a função arco-seno com valor principal no intervalo
. Portanto a quantidade
é o ângulo
tal que
Passo 2
Vamos introduzir uma variável para trabalhar com a identidade trigonométrica de forma clara. Defina
Pela definição, temos
Passo 3
Usar a identidade pitagórica básica das funções trigonométricas:
Substituindo
obtemos
Calcule a potência:
logo
Passo 4
Isolando
temos
Portanto
Agora precisamos escolher o sinal correto. Como
(intervalo principal do arco-seno), o cosseno é não negativo nesse intervalo (cosseno é positivo em quadrantes I e IV, e o intervalo dado corresponde a esses quadrantes). Assim o sinal escolhido é o positivo, portanto
Passo 5
A função secante é o recíproco do cosseno:
Substituindo
obtemos
Simplificando
(multiplicando numerador e denominador por
ou reconhecendo que
). Opcionalmente, note também que
e
, checando o resultado.
Passo 6
Concluímos que a expressão está definida (não há divisão por zero nem ambiguidade de sinal) e que seu valor exato é
. Força aí — é um cálculo curto quando a gente usa a identidade pitagórica e o domínio do arco-seno!