Encontre o valor exato de cada uma das expressões, se não existir o valor diga por que o mesmo não está definido:
\operatorname{sec} \left(\operatorname{sen}^{-1} \frac{\sqrt{2}}{2}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a expressão
\operatorname{sec}\!\left(\sin^{-1}\!\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
O que é pedido: encontrar o valor exato dessa expressão, ou dizer por que não está definida. Informação importante que já vem implícita no símbolo \sin^{-1}: \sin^{-1} é a função arco-seno com valor principal no intervalo [-\,\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Portanto a quantidade \sin^{-1}\!\frac{\sqrt{2}}{2} é o ângulo \theta tal que
\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\text{e}\quad \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

Passo 2

Vamos introduzir uma variável para trabalhar com a identidade trigonométrica de forma clara. Defina
\theta=\sin^{-1}\!\frac{\sqrt{2}}{2}.
Pela definição, temos
\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2} \quad\text{e}\quad \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

Passo 3

Usar a identidade pitagórica básica das funções trigonométricas:
\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1.
Substituindo \sin\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} obtemos
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\cos^{2}\theta=1.
Calcule a potência:
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},
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\frac{1}{2}+\cos^{2}\theta=1.

Passo 4

Isolando \cos^{2}\theta temos
\cos^{2}\theta=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\cos\theta=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.
Agora precisamos escolher o sinal correto. Como \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] (intervalo principal do arco-seno), o cosseno é não negativo nesse intervalo (cosseno é positivo em quadrantes I e IV, e o intervalo dado corresponde a esses quadrantes). Assim o sinal escolhido é o positivo, portanto
\cos\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

A função secante é o recíproco do cosseno:
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\cos\theta}.
Substituindo \cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2} obtemos
\operatorname{sec}\theta=\frac{1}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}.
Simplificando \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2} (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{2} ou reconhecendo que 2/\sqrt{2}=\sqrt{2}). Opcionalmente, note também que \sin^{-1}\!\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{\pi}{4} e \operatorname{sec}\!\dfrac{\pi}{4}=\sqrt{2}, checando o resultado.

Passo 6

Concluímos que a expressão está definida (não há divisão por zero nem ambiguidade de sinal) e que seu valor exato é \sqrt{2}. Força aí — é um cálculo curto quando a gente usa a identidade pitagórica e o domínio do arco-seno!

Resposta

\sqrt{2}

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