Encontre o valor exato de cada uma das expressões, se não existir o valor diga por que o mesmo não está definido:
\operatorname{arccos} \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de
\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Informações dadas:
  • O número dentro de \operatorname{arccos} é -\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • Precisa-se do valor exato da função arco-cosseno aplicada a esse número, ou justificar se não estiver definido.

Passo 2

Verificar se o argumento está no domínio de \operatorname{arccos}. A função \operatorname{arccos} está definida para entradas em [-1,1]. Observa-se que
-1 \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \le 1,
pois \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0,866. Logo o valor está no domínio e a expressão está bem definida.

Passo 3

Lembrar a definição principal de \operatorname{arccos}: para y=\operatorname{arccos}(x) temos que \cos(y)=x e o valor principal de \operatorname{arccos} é tomado no intervalo
y\in[0,\pi].
Então precisamos achar o ângulo y\in[0,\pi] tal que
\cos(y)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Encontrar o ângulo de referência. Sabe-se que
\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Assim o valor absoluto do cosseno dado corresponde a um ângulo de referência \dfrac{\pi}{6} (30°). Como o cosseno é negativo, o ângulo procurado pertence ao segundo ou ao terceiro quadrante.

Passo 5

Usar a simetria do cosseno e o intervalo principal de \operatorname{arccos}. Para um ângulo de referência \alpha vale
\cos(\pi-\alpha)=-\cos(\alpha).
Tomando \alpha=\dfrac{\pi}{6} obtemos
\cos\!\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Como \dfrac{5\pi}{6}\in[0,\pi], este é o valor que a função \operatorname{arccos} deve retornar (o outro ângulo com o mesmo cosseno, \dfrac{7\pi}{6}, está fora do intervalo principal).

Passo 6

Concluir que o valor exato procurado é
\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}.

Resposta

\frac{5\pi}{6}

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