Considere a função f(x)=2 \operatorname{sen} x+1, \operatorname{com}-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}. Encontre sua função inversa f^{-1}. Diga qual é o seu domínio e o seu conjunto imagem.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(x)=2\sin x+1,\qquad -\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}.
O que é pedido:
  • Encontrar a função inversa f^{-1}.
  • Dizer o domínio de f^{-1}.
  • Dizer o conjunto imagem (contradomínio efetivo) de f^{-1}.
Informações fornecidas: a expressão de f e o intervalo onde x varia (domínio de f).

Passo 2

Primeiro precisamos garantir que f é invertível no domínio dado (ou seja, é injetora). Uma maneira simples é verificar que f é monotônica nesse intervalo. Calculemos a derivada:
f'(x)=2\cos x.
No intervalo -\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2} temos \cos x\ge 0, portanto
f'(x)=2\cos x\ge 0.
Isso mostra que f é crescente nesse intervalo. Uma função crescente em um intervalo é injetora, logo ela admite inversa definida sobre o seu conjunto imagem. (Breve explicação: injetora significa que valores diferentes de x dão valores diferentes de f(x); monotonicidade crescente garante isso.)

Passo 3

Para achar a inversa, procedemos algébrica e explicitamente. Começamos escrevendo y=f(x) e isolando x:
y=2\sin x+1.
Subtraindo 1 e dividindo por 2,
\sin x=\frac{y-1}{2}.
Aplicando a função inversa do seno (arcsin) aos dois lados, obtemos
x=\arcsin\!\left(\frac{y-1}{2}\right).
Isto fornece a expressão da inversa em termos de y. Para reescrever como uma função usual f^{-1} com variável de entrada x, trocamos o nome da variável:
f^{-1}(x)=\arcsin\!\left(\frac{x-1}{2}\right).

Passo 4

Agora determinamos o domínio de f^{-1}. A função \arcsin aceita entradas somente em [-1,1]. Portanto é necessário que
\frac{x-1}{2}\in[-1,1].
Resolvendo essa desigualdade para x:
-1\le\frac{x-1}{2}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad -2\le x-1\le 2 \quad\Longrightarrow\quad -1\le x\le 3.
Assim o domínio de f^{-1} é [-1,3]. Observação: esse intervalo coincide com o conjunto imagem de f, que também podemos obter diretamente sabendo que \sin x no domínio dado varia em [-1,1] e então 2\sin x+1 varia em 2[-1,1]+1=[-1,3].

Passo 5

Qual é a imagem (conjunto de valores assumidos) de f^{-1}? Pela definição de inversa, a imagem de f^{-1} é o domínio de f. Logo
\mathrm{Im}(f^{-1})=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].
Também faz sentido verificar composições para confirmar: para x\in[-1,3],
f\bigl(f^{-1}(x)\bigr)=2\sin\!\Bigl(\arcsin\!\bigl(\tfrac{x-1}{2}\bigr)\Bigr)+1=2\cdot\frac{x-1}{2}+1=x,
e para x\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right],
f^{-1}\bigl(f(x)\bigr)=\arcsin\!\bigl(\sin x\bigr)=x,
pois em \left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right] vale \arcsin(\sin x)=x. Tudo consistente.

Passo 6

Exemplos rápidos para fixar:
  • f(0)=2\sin0+1=1 então f^{-1}(1)=0.
  • f\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2\cdot1+1=3 então f^{-1}(3)=\tfrac{\pi}{2}.
  • f\!\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2\cdot(-1)+1=-1 então f^{-1}(-1)=-\tfrac{\pi}{2}.
Força aí — essa é a estrutura típica de inversão de funções afim de \sin com domínio restringido. Dá para decorar o procedimento: isolar \sin x, aplicar \arcsin, e checar domínio da entrada de \arcsin.

Resposta

f^{-1}(x)=\arcsin\!\left(\dfrac{x-1}{2}\right)
\mathrm{Dom}(f^{-1})=[-1,3]
\mathrm{Im}(f^{-1})=\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]

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