Considere a função
. Encontre sua função inversa
. Diga qual é o seu domínio e o seu conjunto imagem.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
definida por
O que é pedido:
- Encontrar a função inversa
. - Dizer o domínio de
. - Dizer o conjunto imagem (contradomínio efetivo) de
.
Informações fornecidas: a expressão de
e o intervalo onde
varia (domínio de
).
Passo 2
Primeiro precisamos garantir que
é invertível no domínio dado (ou seja, é injetora). Uma maneira simples é verificar que
é monotônica nesse intervalo. Calculemos a derivada:
No intervalo
temos
, portanto
Isso mostra que
é crescente nesse intervalo. Uma função crescente em um intervalo é injetora, logo ela admite inversa definida sobre o seu conjunto imagem. (Breve explicação: injetora significa que valores diferentes de
dão valores diferentes de
; monotonicidade crescente garante isso.)
Passo 3
Para achar a inversa, procedemos algébrica e explicitamente. Começamos escrevendo
e isolando
:
Subtraindo
e dividindo por
,
Aplicando a função inversa do seno (arcsin) aos dois lados, obtemos
Isto fornece a expressão da inversa em termos de
. Para reescrever como uma função usual
com variável de entrada
, trocamos o nome da variável:
Passo 4
Agora determinamos o domínio de
. A função
aceita entradas somente em
. Portanto é necessário que
Resolvendo essa desigualdade para
:
Assim o domínio de
é
. Observação: esse intervalo coincide com o conjunto imagem de
, que também podemos obter diretamente sabendo que
no domínio dado varia em
e então
varia em
.
Passo 5
Qual é a imagem (conjunto de valores assumidos) de
? Pela definição de inversa, a imagem de
é o domínio de
. Logo
Também faz sentido verificar composições para confirmar: para
,
e para
,
pois em
vale
. Tudo consistente.
Passo 6
Exemplos rápidos para fixar:
-
então . -
então . -
então .
Força aí — essa é a estrutura típica de inversão de funções afim de
com domínio restringido. Dá para decorar o procedimento: isolar
, aplicar
, e checar domínio da entrada de
.