Encontre o valor exato dos números:
\operatorname{tg}\left(405^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o valor exato de \operatorname{tg}\left(405^{\circ}\right). A única informação numérica dada é o ângulo 405^\circ. Vou listar o que preciso lembrar para resolver:
  • A definição básica: \operatorname{tg}(\theta)=\dfrac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}.
  • Propriedades de periodicidade e sinais de seno e cosseno que ajudam a reduzir ângulos grandes.

Passo 2

Vamos lembrar uma identidade importante sobre periodicidade que facilita muito: \operatorname{tg} tem período 180^\circ. Ou seja,
\operatorname{tg}(\theta+180^\circ)=\operatorname{tg}(\theta)\quad\text{para todo }\theta.
Explicando por que isso é verdade (passo a passo): sabemos que
\operatorname{sen}(\theta+180^\circ)=-\operatorname{sen}(\theta) \qquad\text{e}\qquad \cos(\theta+180^\circ)=-\cos(\theta).
Dividindo essas duas identidades obtemos
\operatorname{tg}(\theta+180^\circ)=\frac{\operatorname{sen}(\theta+180^\circ)}{\cos(\theta+180^\circ)}=\frac{-\operatorname{sen}(\theta)}{-\cos(\theta)}=\frac{\operatorname{sen}(\theta)}{\cos(\theta)}=\operatorname{tg}(\theta).
Isso significa que podemos diminuir o ângulo dado subtraindo múltiplos inteiros de 180^\circ sem alterar o valor da tangente.

Passo 3

Reduzimos o ângulo 405^\circ usando a periodicidade de 180^\circ. Podemos subtrair 360^\circ (que é 2\cdot180^\circ) ou diretamente dois períodos de 180^\circ:
405^\circ-2\cdot180^\circ=405^\circ-360^\circ=45^\circ.
Portanto,
\operatorname{tg}\left(405^\circ\right)=\operatorname{tg}\left(45^\circ\right).

Passo 4

Agora avaliamos \operatorname{tg}\left(45^\circ\right). Pelo triângulo isósceles retângulo ou pela circunferência trigonométrica:
\operatorname{sen}(45^\circ)=\cos(45^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Assim
\operatorname{tg}\left(45^\circ\right)=\frac{\operatorname{sen}(45^\circ)}{\cos(45^\circ)}=\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=1.

Passo 5

Conclusão final do raciocínio: \operatorname{tg}\left(405^\circ\right) reduz a \operatorname{tg}\left(45^\circ\right) e este vale 1. Você pode usar o mesmo procedimento para qualquer ângulo: reduzir módulo 180^\circ e então usar ângulos notáveis (como 0^\circ,30^\circ,45^\circ,60^\circ,90^\circ).

Resposta

1

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