Encontre o valor exato dos números:
\cos \left(\frac{33 \pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede encontrar o valor exato de \cos\!\left(\frac{33\pi}{4}\right).
Informações dadas:
  • O ângulo é \frac{33\pi}{4} (em radianos).
    A tarefa é fornecer o valor exato (não decimal) de \cos desse ângulo.

Passo 2

Usar a periodicidade da função cosseno para reduzir o ângulo a um ângulo coterminal mais simples.
A propriedade básica é: para todo inteiro k,
\cos(\theta + 2\pi k)=\cos(\theta).
Observando que 2\pi=\frac{8\pi}{4}, podemos escrever
\frac{33\pi}{4} = \frac{32\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 8\pi + \frac{\pi}{4}.
Como 8\pi é múltiplo de 2\pi (especificamente 8\pi = 4\cdot 2\pi), aplica-se a periodicidade:
\cos\!\left(\frac{33\pi}{4}\right)=\cos\!\left(8\pi+\frac{\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right).

Passo 3

Calcular \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right). Esse é um ângulo bem conhecido: \frac{\pi}{4} é 45^\circ. Num triângulo retângulo isósceles com ângulos 45^\circ,45^\circ,90^\circ, os catetos têm mesmo comprimento (por exemplo 1 e 1) e a hipotenusa vale \sqrt{2}. Assim,
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Racionalizando o denominador:
\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Portanto,
\cos\!\left(\frac{33\pi}{4}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Vai dar tudo certo na prova — esse tipo de redução por periodicidade aparece muito!

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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