Encontre o valor exato de:
s) \csc \left(\frac{7 \pi}{6}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \csc\!\left(\frac{7\pi}{6}\right). Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O ângulo é \frac{7\pi}{6}.
  • A operação pedida é a cosecante, isto é, \csc do ângulo.
    Nada mais foi dado.

Passo 2

Definição e relação útil: a cosecante é o recíproco do seno. Ou seja,
\csc(x)=\frac{1}{\sin(x)}.
Então, para achar \csc\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) eu preciso primeiro achar \sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right).

Passo 3

Identificar a posição do ângulo na circunferência: escrevo \frac{7\pi}{6} como soma de \pi mais um ângulo conhecido:
\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}.
Isso mostra que o ângulo está no terceiro quadrante (entre \pi e \tfrac{3\pi}{2}). No terceiro quadrante, o seno é negativo (pois a coordenada y no círculo unitário é negativa).

Passo 4

Determinar o ângulo de referência: o ângulo de referência associado a \frac{7\pi}{6} é \frac{\pi}{6} (ou seja, 30^\circ). Lembrando o valor exato do seno para esse ângulo de referência:
\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.
Breve justificativa: num triângulo 30–60–90 (ou pelo círculo unitário), o seno de 30^\circ é a razão lado oposto/hipotenusa = 1/2.

Passo 5

Aplicar o sinal do terceiro quadrante ao valor do seno do ângulo de referência:
\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}.
Expliquei antes que o seno é negativo no terceiro quadrante, por isso o sinal negativo.

Passo 6

Calcular a cosecante como recíproco do seno encontrado:
\csc\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right)}=\frac{1}{-\tfrac{1}{2}}=-2.
Simplifiquei 1 / (-1/2) multiplicando por -2.

Resposta

-2

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