Encontre o valor exato de:
y) \operatorname{sen}(13 \pi)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor exato de \operatorname{sen}(13\pi).
Informações dadas: o ângulo é \;13\pi\; (treze vezes \pi). Não há mais dados a perguntar — a tarefa é simplificar/avaliar essa expressão trigonométrica.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de periodicidade da função seno: a função seno tem período 2\pi, ou seja,
\operatorname{sen}(\theta+2\pi)=\operatorname{sen}(\theta)
para qualquer \theta. Isso significa que podemos reduzir o ângulo dado módulo 2\pi sem alterar o valor do seno.

Passo 3

Reduzimos \;13\pi\; módulo 2\pi. Escrevemos
13\pi = 6\cdot(2\pi) + \pi,
porque 6\cdot(2\pi)=12\pi e 12\pi+\pi=13\pi. Usando a periodicidade:
\operatorname{sen}(13\pi)=\operatorname{sen}\big(6\cdot(2\pi)+\pi\big)=\operatorname{sen}(\pi).

Passo 4

Agora avaliamos \operatorname{sen}(\pi). No círculo trigonométrico, o ângulo \pi corresponde ao ponto (-1,0), cujo componente y é 0. A função seno dá precisamente a coordenada y do ponto no círculo unitário, logo
\operatorname{sen}(\pi)=0.
Também dá para ver que \operatorname{sen}(k\pi)=0 para qualquer inteiro k, porque todos esses ângulos caem nos pontos do eixo horizontal do círculo unitário.

Resposta

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