Encontre o valor exato de:
u) \cot \left(-\frac{5 \pi}{6}\right)

Passo 1

O que o problema pede: encontrar o valor exato de \cot\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right).
Informações dadas:
  • O ângulo é -\frac{5\pi}{6} (radianos).
  • Queremos o valor exato (não decimal) da cotangente desse ângulo.

Passo 2

Definição e propriedades úteis (mini-aula rápida):
  • A cotangente de um ângulo x é definida por
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x},
onde \cos x é o cosseno e \sin x é o seno.
  • Propriedade de paridade das funções seno e cosseno:
    • \cos(-x) = \cos x (cosseno é par).
    • \sin(-x) = -\sin x (seno é ímpar).
  • Da definição e das propriedades acima segue que a cotangente é ímpar:
\cot(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos x}{-\,\sin x} = -\cot x.
Isto é útil porque transforma um ângulo negativo em um positivo com sinal trocado.

Passo 3

Aplicando a propriedade de paridade da cotangente ao nosso caso:
\cot\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\,\cot\!\left(\frac{5\pi}{6}\right).

Passo 4

Para calcular \cot\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) usamos a definição \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} e valores do círculo unitário.
  • O ângulo \frac{5\pi}{6} tem ângulo de referência \pi/6 (porque \pi - \frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6}) e está no quadrante II.
  • No quadrante II o seno é positivo e o cosseno é negativo.
  • Valores conhecidos para \pi/6: \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  • Portanto, usando o sinal adequado no quadrante II: \sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 5

Calcular \cot\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) explicitamente:
\cot\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac{\cos\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)}{\sin\!\left(\frac{5\pi}{6}\right)} =\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}.
Aqui simplificamos multiplicando numerador e denominador por 2.

Passo 6

Voltando ao ângulo original com o sinal (passo 3):
\cot\!\left(-\frac{5\pi}{6}\right) = -\,\cot\!\left(\frac{5\pi}{6}\right) = -\bigl(-\sqrt{3}\bigr)=\sqrt{3}.
Pronto — chegou-se ao valor exato.

Resposta

\sqrt{3}

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