Encontre o valor exato de:
u)
u)
Passo 1
O que o problema pede: encontrar o valor exato de
.
Informações dadas:
- O ângulo é
(radianos). - Queremos o valor exato (não decimal) da cotangente desse ângulo.
Passo 2
Definição e propriedades úteis (mini-aula rápida):
- A cotangente de um ângulo
é definida por
onde
é o cosseno e
é o seno.
- Propriedade de paridade das funções seno e cosseno:
-
(cosseno é par). -
(seno é ímpar).
-
- Da definição e das propriedades acima segue que a cotangente é ímpar:
Isto é útil porque transforma um ângulo negativo em um positivo com sinal trocado.
Passo 3
Aplicando a propriedade de paridade da cotangente ao nosso caso:
Passo 4
Para calcular
usamos a definição
e valores do círculo unitário.
- O ângulo
tem ângulo de referência (porque ) e está no quadrante II. - No quadrante II o seno é positivo e o cosseno é negativo.
- Valores conhecidos para
: - Portanto, usando o sinal adequado no quadrante II:
Passo 5
Calcular
explicitamente:
Aqui simplificamos multiplicando numerador e denominador por
.
Passo 6
Voltando ao ângulo original com o sinal (passo 3):
Pronto — chegou-se ao valor exato.