Considere a função:
f(x, y)= ( definida abaixo ), & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
  1. Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).
  2. As derivadas parciais de f(x, y) no ponto (0,0).
  3. Se f(x, y) é diferenciável no ponto (0,0).
f(x, y)=sin (x^2+2 y^2)(x^2+y^2)^4

Passo 1

Inicialmente, vamos resumir o enunciado e indicar o que vamos usar: a função é dada por
f(x,y)=sinl(x^2+2y^2r)(x^2+y^2)^4,&(x,y)neq(0,0),0,&(x,y)=(0,0),
o que pertence ao conteúdo de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar definições de limite em duas variáveis, definição de derivada parcial no ponto e critério de diferenciabilidade.

Passo 2

Para ver se f é contínua em (0,0), examinamos o limite lim(x,y)to(0,0)f(x,y). Tomando a reta y=0, temos
f(x,0)=sin(x^2)(x^2)^4=sin(x^2)x^8
Como para xto0 vale sin(x^2)sim x^2, segue que
f(x,0)approxx^2x^8=1x^6to+infty,
o que mostra que o limite não existe (nem é zero). Logo, f não é contínua em (0,0).

Passo 3

Para calcular a derivada parcial em x no ponto (0,0), usamos a definição
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto0f(h,0)h
Como já vimos que f(h,0)approx1/h^6, temos
f(h,0)happrox1/h^6h=1h^7topminfty
quando hto0. Portanto, essa derivada parcial não existe (é infinita).

Passo 4

Para a derivada parcial em y no ponto (0,0), aplicamos
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k=limkto0sin(2k^2)/(k^2)^4k
Ora, sin(2k^2)sim2k^2 para kto0, então
f(0,k)approx2k^2k^8=2k^6
e
f(0,k)kapprox2/k^6k=2k^7topminfty
Logo, essa derivada parcial também não existe.

Passo 5

Como a função não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável ali. A diferenciabilidade exige continuidade no ponto e existência de derivadas parciais finitas que se relacionem via aproximação linear, o que falha neste caso.

Resposta

  1. Não é contínua em (0,0).
  2. As derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) não existem (são infinitas).
  3. Não é diferenciável em (0,0).

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