Considere a função:
Determine:
- Se
é contínua no ponto
.
- As derivadas parciais de
no ponto
.
- Se
é diferenciável no ponto
.
Passo 1
Inicialmente, vamos resumir o enunciado e indicar o que vamos usar: a função é dada por
o que pertence ao conteúdo de continuidade, derivadas parciais e diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar definições de limite em duas variáveis, definição de derivada parcial no ponto e critério de diferenciabilidade.
Passo 2
Para ver se f é contínua em (0,0), examinamos o limite
. Tomando a reta
, temos
Como para
vale
, segue que
o que mostra que o limite não existe (nem é zero). Logo, f não é contínua em (0,0).
Passo 3
Para calcular a derivada parcial em x no ponto (0,0), usamos a definição
Como já vimos que
, temos
quando
. Portanto, essa derivada parcial não existe (é infinita).
Passo 4
Para a derivada parcial em y no ponto (0,0), aplicamos
Ora,
para
, então
e
Logo, essa derivada parcial também não existe.
Passo 5
Como a função não é contínua em (0,0), ela não pode ser diferenciável ali. A diferenciabilidade exige continuidade no ponto e existência de derivadas parciais finitas que se relacionem via aproximação linear, o que falha neste caso.
Resposta
- Não é contínua em (0,0).
- As derivadas parciais
e em (0,0) não existem (são infinitas). - Não é diferenciável em (0,0).