Encontre o valor das integrais impróprias:
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^{3}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^{3}}\,dx.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O integrando é \displaystyle \frac{1}{x^{3}}=x^{-3}.
  • O intervalo de integração é (-\infty,-1], ou seja, a integral é imprópria por causa do limite infinito no extremo inferior ( -\infty).
  • A função x^{-3} é contínua para todo x\neq0; no intervalo (-\infty,-1] não há singularidade interna (o ponto 0 não está no intervalo), então só precisamos tratar a impropriedade do infinito.

Passo 2

Definimos a integral imprópria como um limite de integrais próprias. Introduzimos um parâmetro a com a< -1 e tomamos o limite quando a\to -\infty:
\int_{-\infty}^{-1} \frac{1}{x^{3}}\,dx = \lim_{a\to -\infty} \int_{a}^{-1} x^{-3}\,dx.
Isto transforma o problema em calcular a primitiva de x^{-3}, avaliar entre a e -1, e depois fazer o limite.

Passo 3

Lembrete da regra de integração (regra do poder): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-3, logo
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2}+C = -\frac{1}{2}x^{-2}+C = -\frac{1}{2x^{2}}+C.
Explicando: x^{-2}=1/x^{2}, então a primitiva pode ser escrita como -\dfrac{1}{2x^{2}}.

Passo 4

Avaliamo a integral própria \int_{a}^{-1} x^{-3}\,dx usando a primitiva F(x)=-\dfrac{1}{2x^{2}}:
\int_{a}^{-1} x^{-3}\,dx = F(-1)-F(a) = \left(-\frac{1}{2(-1)^{2}}\right) - \left(-\frac{1}{2a^{2}}\right).
Calculando cada termo:
F(-1) = -\frac{1}{2\cdot 1} = -\frac{1}{2}, \qquad F(a) = -\frac{1}{2a^{2}}.
Portanto
\int_{a}^{-1} x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2} -\left(-\frac{1}{2a^{2}}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2a^{2}}.

Passo 5

Agora tomamos o limite quando a\to -\infty. Note que a^{2}\to +\infty, logo \dfrac{1}{2a^{2}}\to 0. Assim
\lim_{a\to -\infty}\left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2a^{2}}\right) = -\frac{1}{2} + 0 = -\frac{1}{2}.
Isto mostra que a integral imprópria converge e tem valor finito.

Passo 6

Verificação rápida de sinal e intuição: para x<0 temos x^{3}<0, então \dfrac{1}{x^{3}}<0. Esperávamos um valor negativo para a integral sobre (-\infty,-1]; o resultado -\tfrac{1}{2} está coerente com isso.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados