Encontre o valor das integrais impróprias:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é
, ou seja, a integral é imprópria por causa do limite infinito no extremo inferior ( ). - A função
é contínua para todo ; no intervalo não há singularidade interna (o ponto não está no intervalo), então só precisamos tratar a impropriedade do infinito.
Passo 2
Definimos a integral imprópria como um limite de integrais próprias. Introduzimos um parâmetro
com
e tomamos o limite quando
:
Isto transforma o problema em calcular a primitiva de
, avaliar entre
e
, e depois fazer o limite.
Passo 3
Lembrete da regra de integração (regra do poder): para
,
Aqui
, logo
Explicando:
, então a primitiva pode ser escrita como
.
Passo 4
Avaliamo a integral própria
usando a primitiva
:
Calculando cada termo:
Portanto
Passo 5
Agora tomamos o limite quando
. Note que
, logo
. Assim
Isto mostra que a integral imprópria converge e tem valor finito.
Passo 6
Verificação rápida de sinal e intuição: para
temos
, então
. Esperávamos um valor negativo para a integral sobre
; o resultado
está coerente com isso.