Questão 29 Calcule os valores
\arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right). A informação dada é apenas o número dentro do arco-tangente: \dfrac{\sqrt{3}}{3}. Nenhuma outra informação é fornecida.

Passo 2

Lembrete rápido e importante sobre \arctan:
  • A função \arctan (ou \tan^{-1}) é a inversa da função \tan restrita ao intervalo principal. Ou seja, se \tan(\theta)=x e \theta está no intervalo principal \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), então \arctan(x)=\theta.
  • Portanto, para achar \arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) basta encontrar um ângulo \theta\in\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) tal que \tan(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 3

Vamos lembrar valores conhecidos da função \tan em ângulos notáveis:
  • \tan(0)=0.
  • \tan\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1.
  • \tan\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}.
  • \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) pode ser calculada usando \sin e \cos: \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}.Sabendo que \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} e \cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

Passo 4

Vimos que \tan\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}. Como \dfrac{\pi}{6} pertence ao intervalo principal \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right), segue que
\arctan\!\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}.
Para referência, em graus \dfrac{\pi}{6}=30^\circ, e em valor decimal aproximado \dfrac{\pi}{6}\approx 0,523598776 (usando \pi\approx 3,141592654).

Resposta

\dfrac{\pi}{6}
30^\circ
\approx 0,523598776

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