Use o Teorema de Stokes para calcular
rot
, onde
é a parte da esfera
que está acima do plano
e
tem orientação ascendente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde a campo vetorial é
e
é a parte da esfera
que está acima do plano
. A orientação de
é ascendente (vetor normal apontando para cima).\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é a porção superior da esfera de raio cortada pelo plano . - A curva fronteira
é a interseção da esfera com o plano . - O campo
tem componentes , , .
O que se pede: calcular.
Passo 2
Escolha do método: aqui é natural usar o Teorema de Stokes, porque o integrando é
e a superfície tem uma fronteira simples. O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada
com fronteira orientada
,
Explicando isso passo a passo:
-
(ou curl ) é um campo vetorial que mede a tendência de rotação local do campo . -
é o vetor área orientado segundo a orientação escolhida para . - A igualdade acima troca uma integral de superfície por uma integral de linha ao longo da fronteira
; isso costuma simplificar muito quando é uma curva fácil de parametrizar.
Vou aplicar essa identidade: em vez de calcular diretamente
, vou computar
.
Passo 3
Determinar a curva
. A fronteira é a interseção entre a esfera
e o plano
. Substituindo
na esfera:
Logo
é o círculo de raio
no plano
, centrado na origem. Como
tem orientação ascendente, a orientação induzida em
é contrária ao polo negativo: vista de cima (direção positiva de
), essa orientação é anti-horária (no sentido trigonométrico positivo). Portanto parametrizo
por
que descreve o círculo no sentido anti-horário. O vetor diferencial é
Passo 4
Expressar
ao longo da curva e observar que a componente
não contribui. Em coordenadas,
Ao longo da curva
, temos
(porque
é constante na curva). Portanto a componente
(que envolve
) não contribui para a integral de linha, e não precisamos conhecer o que é
. Isso é um ponto importante: qualquer termo multiplicando
some porque
sobre a curva. Assim basta calcular
ao longo da parametrização.
Passo 5
Calcular
,
,
e
sobre a curva:
- Para
temos , , . - Então
- E
Passo 6
Montar o integrando
:
Portanto a integral de linha é
Passo 7
Calcular a integral do primeiro termo
. Usa-se a identidade trigonométrica
e também
Assim
porque
vale zero em
e
.]
Passo 8
Calcular a integral do segundo termo
. Observa-se que
, então
Passo 9
Somando as duas contribuições:
Pelo Teorema de Stokes isso é igual à integral de superfície desejada: