Use o Teorema de Stokes para calcular \iint_{S} rot \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}, onde \mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} y z \mathbf{i}+y z^{2} \mathbf{j}+z^{3} e^{w} \mathbf{k}, S é a parte da esfera x^{2}+y^{2} +z^{2}=5 que está acima do plano z=1 e S tem orientação ascendente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} \operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},
onde a campo vetorial é
\mathbf{F}(x,y,z)=x^{2}yz\,\mathbf{i}+yz^{2}\,\mathbf{j}+z^{3}e^{w}\,\mathbf{k},
e S é a parte da esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=5
que está acima do plano z=1. A orientação de S é ascendente (vetor normal apontando para cima).\n
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é a porção superior da esfera de raio \sqrt{5} cortada pelo plano z=1.
  • A curva fronteira \partial S é a interseção da esfera com o plano z=1.
  • O campo \mathbf{F} tem componentes F_1=x^{2}yz, F_2=yz^{2}, F_3=z^{3}e^{w}.
    O que se pede: calcular \iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.

Passo 2

Escolha do método: aqui é natural usar o Teorema de Stokes, porque o integrando é \operatorname{rot}\mathbf{F} e a superfície tem uma fronteira simples. O Teorema de Stokes afirma que, para uma superfície orientada S com fronteira orientada \partial S,
\iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Explicando isso passo a passo:
  • \operatorname{rot}\mathbf{F} (ou curl \mathbf{F}) é um campo vetorial que mede a tendência de rotação local do campo \mathbf{F}.
  • d\mathbf{S} é o vetor área orientado segundo a orientação escolhida para S.
  • A igualdade acima troca uma integral de superfície por uma integral de linha ao longo da fronteira \partial S; isso costuma simplificar muito quando \partial S é uma curva fácil de parametrizar.
Vou aplicar essa identidade: em vez de calcular diretamente \iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}, vou computar \oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 3

Determinar a curva \partial S. A fronteira é a interseção entre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 e o plano z=1. Substituindo z=1 na esfera:
x^{2}+y^{2}+1^{2}=5 \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=4.
Logo \partial S é o círculo de raio 2 no plano z=1, centrado na origem. Como S tem orientação ascendente, a orientação induzida em \partial S é contrária ao polo negativo: vista de cima (direção positiva de z), essa orientação é anti-horária (no sentido trigonométrico positivo). Portanto parametrizo \partial S por
\mathbf{r}(t)=\bigl(2\cos t,\,2\sin t,\,1\bigr),\qquad 0\le t\le 2\pi,
que descreve o círculo no sentido anti-horário. O vetor diferencial é
d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt=\bigl(-2\sin t,\,2\cos t,\,0\bigr)\,dt.

Passo 4

Expressar \mathbf{F} ao longo da curva e observar que a componente k não contribui. Em coordenadas,
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=F_{1}\,dx+F_{2}\,dy+F_{3}\,dz.
Ao longo da curva z\equiv 1, temos dz=0 (porque z é constante na curva). Portanto a componente F_{3} (que envolve z^{3}e^{w}) não contribui para a integral de linha, e não precisamos conhecer o que é e^{w}. Isso é um ponto importante: qualquer termo multiplicando dz some porque dz=0 sobre a curva. Assim basta calcular F_{1}\,dx+F_{2}\,dy ao longo da parametrização.

Passo 5

Calcular F_{1}, F_{2}, dx e dy sobre a curva:
  • Para \mathbf{r}(t)=\bigl(2\cos t,\,2\sin t,\,1\bigr) temos x=2\cos t, y=2\sin t, z=1.
  • Então
F_{1}=x^{2}yz=(2\cos t)^{2}\cdot(2\sin t)\cdot 1=4\cos^{2}t\cdot 2\sin t=8\cos^{2}t\sin t,
F_{2}=yz^{2}=(2\sin t)\cdot 1^{2}=2\sin t.
  • E
dx=(-2\sin t)\,dt,\qquad dy=(2\cos t)\,dt.

Passo 6

Montar o integrando \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=F_{1}\,dx+F_{2}\,dy:
\begin{aligned} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} &= \bigl(8\cos^{2}t\sin t\bigr)(-2\sin t\,dt)+\bigl(2\sin t\bigr)(2\cos t\,dt)\\[4pt] &= \bigl(-16\cos^{2}t\sin^{2}t+4\sin t\cos t\bigr)\,dt. \end{aligned}
Portanto a integral de linha é
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{2\pi}\bigl(-16\cos^{2}t\sin^{2}t+4\sin t\cos t\bigr)\,dt.]

Passo 7

Calcular a integral do primeiro termo -16\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt. Usa-se a identidade trigonométrica
\sin^{2}t\cos^{2}t=\frac{1}{4}\sin^{2}(2t)
e também
\sin^{2}(2t)=\frac{1-\cos(4t)}{2}.
Assim
\begin{aligned} -16\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt &= -16\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\sin^{2}(2t)\,dt\\[4pt] &= -4\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(2t)\,dt\\[4pt] &= -4\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(4t)}{2}\,dt\\[4pt] &= -2\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-\cos(4t)\bigr)\,dt\\[4pt] &= -2\Bigl[t-\frac{\sin(4t)}{4}\Bigr]_{0}^{2\pi}\\[4pt] &= -2\bigl(2\pi-0\bigr) = -4\pi, \end{aligned}
porque \sin(4t) vale zero em t=0 e t=2\pi.]

Passo 8

Calcular a integral do segundo termo 4\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt. Observa-se que 4\sin t\cos t=2\sin(2t), então
4\int_{0}^{2\pi}\sin t\cos t\,dt=\int_{0}^{2\pi}2\sin(2t)\,dt=\bigl[-\cos(2t)\bigr]_{0}^{2\pi}=-\cos(4\pi)+\cos(0)= -1+1=0.

Passo 9

Somando as duas contribuições:
\oint_{\partial S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=(-4\pi)+0=-4\pi.
Pelo Teorema de Stokes isso é igual à integral de superfície desejada:
\iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-4\pi.

Resposta

-4\pi

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