Encontre o valor médio da função dada, no intervalo dado.
c) f(x)=x e^-x^2, [0,5]

Passo 1

Temos a função f(x)=x e^-x^2 definida no intervalo [0,5]. O objetivo é encontrar o valor médio dessa função. O conteúdo envolve o conceito de valor médio de funções e cálculo de integrais definidas.

Passo 2

Pela teoria de valor médio de funções, o valor médio de f em [a,b] é dado por:
fmédia=1b-aintegrala^b f(x),dx é
Aqui, a=0 e b=5, então:
fmédia=15-0integral0^5 x e^-x^2,dx=15integral0^5 x e^-x^2,dx é

Passo 3

Para calcular integral0^5 x e^-x^2,dx, usamos a substituição u=x^2, o que implica du=2x,dx e x,dx=tfrac12du. Assim, a primitiva de x e^-x^2 é:
integral x e^-x^2,dx=12integral e^-u,du=-12e^-u+C=-12e^-x^2+C

Passo 4

Agora avaliamos essa primitiva nos limites de 0 a 5:
integral0^5 x e^-x^2,dx=l[-tfrac12e^-x^2r]0^5=-tfrac12e^-25-l(-tfrac12e^0r)=tfrac12l(1-e^-25r)

Passo 5

Substituindo o valor da integral na expressão do valor médio, temos:
fmédia=15cdot12l(1-e^-25r)=1-e^-2510 é

Resposta

1-e^-2510

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