Encontre o valor médio da função dada, no intervalo dado.
b) f(x)=raiz[3]x, [1,8]

Passo 1

A questão pede para calcular o valor médio de uma função no intervalo [1,8], o que cai no conteúdo de valor médio de funções usando integrais. Vamos precisar da fórmula do valor médio e de como integrar potências de x.

Passo 2

A fórmula do valor médio de f em [a,b] é
fmédia=1b-aintegrala^bf(x),dxé
Aqui temos a=1, b=8 e f(x)=x^{1/3}, então
fmédia=18-1integral1^8x^1/3,dx=17integral1^8x^1/3,dxé.

Passo 3

Precisamos calcular integral x^1/3dx. Usando a regra de potências, a primitiva de x^n é x^n+1/(n+1). Aqui n=1/3, logo:
integral x^1/3dx=x^1/3+11/3+1+C=x^4/34/3+C=34x^4/3+C

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida de 1 a 8:
integral1^8x^1/3dx=l[34x^4/3r]1^8=34l(8^4/3-1^4/3r)
Sabemos que 8^1/3=2, então 8^4/3=(8^1/3)^4=2^4=16. Logo
integral1^8x^1/3dx=34(16-1)=34cdot15=454

Passo 5

Por fim, o valor médio é essa integral dividida por 7:
fmédia=17cdot454=4528é

Resposta

4528

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