Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Estamos trabalhando com séries de potências, que envolvem termos com potências de . Para resolver isso, vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois determinar o intervalo, verificando onde a série realmente converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o valor de para o qual a série converge. A regra é analisar o limite:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos calcular esse limite para a nossa série. Primeiro, identifiquemos an:
an = (-1)^n(x+2)^nraizn
Agora, calculamos an+1:
an+1 = (-1)^n+1(x+2)^n+1raizn+1
Agora, aplicamos a fórmula do teste da razão:
Simplificando:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1(x+2)^n+1raizn+1 cdot raizn(-1)^n(x+2)^n | = limn to infty | (x+2) cdot raiznraizn+1 |
Para que a série converja:
L = |x + 2| cdot limn to infty raiznn+1 = |x + 2| cdot 1 = |x + 2|
Passo 4
Agora, resolvemos a desigualdade:
|x + 2| < 1 Rightarrow -1 < x + 2 < 1 Rightarrow -3 < x < -1
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência preliminar é (-3, -1).
Passo 5
Precisamos verificar os extremos x = -3 e x = -1 para ver se a série converge nesses pontos.