Encontre o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^nraizn

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para encontrar o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty (-1)^n(x+2)^nraizn. Estamos trabalhando com séries de potências, que envolvem termos com potências de x. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e depois determinar o intervalo, verificando onde a série realmente converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos ajuda a encontrar o valor de x para o qual a série converge. A regra é analisar o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular esse limite para a nossa série. Primeiro, identifiquemos an:
an = (-1)^n(x+2)^nraizn
Agora, calculamos an+1:
an+1 = (-1)^n+1(x+2)^n+1raizn+1
Agora, aplicamos a fórmula do teste da razão:
Simplificando:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (-1)^n+1(x+2)^n+1raizn+1 cdot raizn(-1)^n(x+2)^n | = limn to infty | (x+2) cdot raiznraizn+1 |
Para que a série converja:
L = |x + 2| cdot limn to infty raiznn+1 = |x + 2| cdot 1 = |x + 2|

Passo 4

Agora, resolvemos a desigualdade:
|x + 2| < 1 Rightarrow -1 < x + 2 < 1 Rightarrow -3 < x < -1
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo de convergência preliminar é (-3, -1).

Passo 5

Precisamos verificar os extremos x = -3 e x = -1 para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para x = -3:
sumn=1^infty (-1)^n(-3 + 2)^nraizn = sumn=1^infty (-1)^n(-1)^nraizn = sumn=1^infty 1raizn
Essa é a série p com p = 12, que diverge.
  • Para x = -1:
sumn=1^infty (-1)^n(-1 + 2)^nraizn = sumn=1^infty (-1)^n(1)^nraizn = sumn=1^infty (-1)^nraizn
Essa é uma série alternada que satisfaz os critérios do teste de Leibniz (os termos diminuem em módulo para zero), então ela converge.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é [-3, -1).

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