1. Encontre o valor médio da função f(r, \theta, z)=r sobre a esfera sólida delimitada pela esfera r^{2}+z^{2}=1. (Esta é a esfera x^{2}+y^{2} +z^{2}=1.)

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(r,\theta,z)=r sobre o sólido
x^2+y^2+z^2\le1,
onde r=\sqrt{x^2+y^2}. Vamos usar o conceito de valor médio numa região V:
\langle f\rangle=\frac{1}{\mathrm{Vol}(V)}\iiint_V f\,dV.
Aqui \mathrm{Vol}(V)=\tfrac{4}{3}\pi é o volume da bola unitária.

Passo 2

Para aproveitar a simetria, escolhemos coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta) tais que
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,
com 0\le\rho\le1, 0\le\varphi\le\pi, 0\le\theta\le2\pi.
Em esféricas temos
r=\sqrt{x^2+y^2}=\rho\sin\varphi, \quad dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

O numerador da média é
\iiint_V r\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{\rho=0}^{1} \bigl(\rho\sin\varphi\bigr)\bigl(\rho^2\sin\varphi\bigr)\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\!d\theta\int_{0}^{\pi}\sin^2\varphi\,d\varphi\int_{0}^{1}\rho^3\,d\rho.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente:
\int_{0}^{1}\rho^3\,d\rho=\frac{1}{4}, \quad \int_{0}^{\pi}\sin^2\varphi\,d\varphi=\frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
Logo o numerador vale
\frac{1}{4}\times\frac{\pi}{2}\times2\pi =\frac{\pi^2}{4}.

Passo 5

O valor médio é então
\langle f\rangle =\frac{\displaystyle\frac{\pi^2}{4}}{\displaystyle\frac{4}{3}\pi} =\frac{\pi^2}{4}\cdot\frac{3}{4\pi} =\frac{3\pi}{16}.

Resposta

O valor médio de f(r,\theta,z)=r na bola de raio 1 é
\boxed{\frac{3\pi}{16}}.

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