Seja uma corda elástica de comprimento
cuja as extremidades estão fixas. Suponha que esta corda inicialmente em repouso é puxada para cima de duas unidades pelo seu centro formando um (a) Argumente qualitativamente que o problema enunciado acima possui a seguinte formulação matemática:
onde
(constante) é a velocidade de propagação das ondas ao longo da corda .
Passo 1
Beleza! Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma corda elástica de comprimento $ L $ com as extremidades fixas. Inicialmente, a corda está em repouso, mas é puxada para cima no centro em duas unidades. O objetivo é mostrar qualitativamente por que esse cenário pode ser descrito pela equação de onda fornecida, junto com as condições de contorno e iniciais especificadas. Para isso, vamos precisar entender o que é a equação de onda, como ela modela movimentos em cordas, e como aplicar as condições de contorno e iniciais ao nosso caso.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a equação de onda. A equação dada é:
Essa é a equação clássica que descreve como ondas se propagam em uma corda ou em outros meios. Aqui, $ u(x, t) $ representa a posição vertical da corda no ponto $ x $ e no tempo $ t $, e $ a $ é a velocidade com que a onda se propaga ao longo da corda. A equação relaciona como a curvatura da corda no espaço ($ \partial^{2} u / \partial x^{2}
\partial^{2} u / \partial t^{2} $).
Passo 3
Agora, vamos considerar as condições de contorno:
Essas condições indicam que as extremidades da corda (nos pontos $ x = 0 $ e $ x = L $) estão fixas e não se movem, ou seja, a posição vertical nessas extremidades é sempre zero para qualquer tempo $ t $. Isso faz sentido porque a corda está presa nessas pontas e não pode se deslocar para cima ou para baixo.
Passo 4
Em seguida, analisamos as condições iniciais:
Isso descreve a forma inicial da corda no instante $ t = 0
x = L/2 $), onde atinge um pico de 2 unidades (já que $ 4 \times (L/2)/L = 2 $), e depois desce com inclinação negativa até $ x = L $. Basicamente, isso representa a corda sendo puxada para cima no centro em duas unidades, formando um “pico” simétrico.
Além disso, temos:
Isso significa que a velocidade da corda no instante inicial $ t = 0 $ é zero em todos os pontos $ x $. Ou seja, a corda está inicialmente em repouso.
Passo 5
Com tudo isso, estamos modelando uma corda fixa nas extremidades, inicialmente puxada para cima no centro e em repouso. A equação de onda descreve como essa perturbação inicial (a forma puxada) vai se propagar ao longo da corda com a velocidade $ a $. As condições de contorno garantem que as extremidades permaneçam fixas, enquanto as condições iniciais definem a forma inicial da corda e a ausência de movimento no começo. Tudo isso se encaixa perfeitamente na formulação matemática que nos foi dada.
Resposta
A formulação matemática do problema é: