Encontre o valor médio da função f(x, y) = 1 / raiz(x^2 + y^2) na região anular a^2 <= x^2 + y^2 <= b^2, onde 0 < a < b.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos achar o valor médio da função numa região anular, que é basicamente uma faixa entre dois círculos com raios e , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo de funções de duas variáveis e coordenadas polares, que facilitam bastante quando lidamos com círculos ou discos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o valor médio de uma função numa região . A fórmula geral é:
éÁ
Neste caso, nossa região é a área anular . Como estamos lidando com círculos, é mais fácil trabalhar em coordenadas polares, onde e . Além disso, em coordenadas polares, o elemento de área se transforma em .

Passo 3

Vamos reescrever a função em coordenadas polares. Temos:
Então, a integral dupla para o valor médio fica:
éÁ
Aqui, é a nossa função e é o novo elemento de área em coordenadas polares.

Passo 4

Simplificando a integral, observamos que . Assim, a integral se torna:
éÁ
Agora, vamos calcular a área da região . Como é uma área anular entre dois círculos, a área é a diferença entre as áreas dos dois círculos:
Á

Passo 5

Voltando à integral, vamos resolvê-la:
Então, a integral dupla vale .

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do valor médio:
é
Esse pode ser simplificado ainda mais:
é

Resposta

O valor médio da função na região anular é é.

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