Encontre o valor mínimo do ângulo \theta entre L e a direção +z para um elétron num átomo que tem:
l=4

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar o valor mínimo do ângulo \theta entre o vetor momento angular \mathbf{L} e a direção +z para um elétron cujo número quântico azimutal é l=4.
Informações dadas e relevantes:
  • O número quântico azimutal é \;l=4\;.
  • O número quântico magnético \;m\; toma valores inteiros entre \;-l e \;l\;: \;m\in\{-l,-l+1,\dots,l-1,l\}.
  • Precisamos relacionar \theta com l e m.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (explicação didática):
  • O módulo do momento angular orbital \mathbf{L} na mecânica quântica tem magnitude dada por
L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar,
onde \;l\; é o número quântico azimutal, e \;\hbar\; é a constante reduzida de Planck. Aqui \;L\; é o comprimento do vetor \mathbf{L}.
  • A componente z do momento angular é quantizada como
L_z=m\hbar,
onde \;m\; é o número quântico magnético (inteiro entre -l e +l).
  • O ângulo \theta entre \mathbf{L} e o eixo +z satisfaz a relação geométrica entre componentes de um vetor:
\cos\theta=\frac{L_z}{L}.
Explicando: L_z é a projeção de \mathbf{L} sobre o eixo z; dividir essa projeção pelo comprimento do vetor dá o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 3

Usando as fórmulas acima, substituímos L e L_z na definição do cosseno:
\cos\theta=\frac{m\hbar}{\sqrt{l(l+1)}\,\hbar}=\frac{m}{\sqrt{l(l+1)}}.
Aqui cancelei \hbar porque aparece no numerador e no denominador. Portanto \cos\theta depende apenas de l e m.

Passo 4

Decidir qual m minimiza \theta:
  • O cosseno é uma função decrescente de \theta no intervalo [0,\pi]: aumentar \cos\theta significa diminuir \theta.
  • Para obter o menor ângulo \theta possível, devemos escolher o maior valor possível de \cos\theta, ou seja, o maior valor permitido de m.
  • Como m varia de -l a +l, o valor máximo é m=l.
    Logo o ângulo mínimo ocorre para m=l.

Passo 5

Aplicando m=l na expressão de \cos\theta:
\cos\theta_{\min}=\frac{l}{\sqrt{l(l+1)}}=\sqrt{\frac{l}{l+1}}.
Agora substituímos l=4:
\cos\theta_{\min}=\frac{4}{\sqrt{4\cdot 5}}=\frac{4}{\sqrt{20}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Encontrar \theta_{\min} explicitamente:
  • Podemos obter \sin\theta_{\min} também para ver uma forma alternativa:
\sin\theta_{\min}=\sqrt{1-\cos^2\theta_{\min}}=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}.
  • Então
\tan\theta_{\min}=\frac{\sin\theta_{\min}}{\cos\theta_{\min}}=\frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}}=\frac{1}{2},
portanto
\theta_{\min}=\arctan\!\left(\frac{1}{2}\right).
Em graus, \arctan(1/2)\approx26{,}565^\circ. Em radianos, \theta_{\min}\approx0{,}46365\\ \text{rad}.

Resposta

\theta_{\min}=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{1}{2}\right)\approx26{,}565^\circ

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