Encontre o valor mínimo do ângulo
entre
e a direção
para um elétron num átomo que tem:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar o valor mínimo do ângulo
entre o vetor momento angular
e a direção
para um elétron cujo número quântico azimutal é
.
Informações dadas e relevantes:
- O número quântico azimutal é
. - O número quântico magnético
toma valores inteiros entre e : . - Precisamos relacionar
com e .
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais (explicação didática):
- O módulo do momento angular orbital
na mecânica quântica tem magnitude dada por
onde
é o número quântico azimutal, e
é a constante reduzida de Planck. Aqui
é o comprimento do vetor
.
- A componente
do momento angular é quantizada como
onde
é o número quântico magnético (inteiro entre
e
).
- O ângulo
entre e o eixo satisfaz a relação geométrica entre componentes de um vetor:
Explicando:
é a projeção de
sobre o eixo
; dividir essa projeção pelo comprimento do vetor dá o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 3
Usando as fórmulas acima, substituímos
e
na definição do cosseno:
Aqui cancelei
porque aparece no numerador e no denominador. Portanto
depende apenas de
e
.
Passo 4
Decidir qual
minimiza
:
- O cosseno é uma função decrescente de
no intervalo : aumentar significa diminuir . - Para obter o menor ângulo
possível, devemos escolher o maior valor possível de , ou seja, o maior valor permitido de . - Como
varia de a , o valor máximo é .
Logo o ângulo mínimo ocorre para.
Passo 5
Aplicando
na expressão de
:
Agora substituímos
:
Passo 6
Encontrar
explicitamente:
- Podemos obter
também para ver uma forma alternativa:
- Então
portanto
Em graus,
. Em radianos,
.