Para um elétron num átomo que está num estado
, encontre:
(a) a magnitude do momento angular ao quadrado
.
(b) o valor máximo de
.
(c) o menor valor de
.
(a) a magnitude do momento angular ao quadrado
(b) o valor máximo de
(c) o menor valor de
Passo 1
O enunciado dá um elétron num átomo que está num estado com número quântico orbital
e pede três coisas:
(a) a magnitude do momento angular ao quadrado ;
(b) o valor máximo de ;
(c) o menor valor de .
(a) a magnitude do momento angular ao quadrado
(b) o valor máximo de
(c) o menor valor de
Informações relevantes fornecidas:
- O número quântico orbital é
. - Não foi dado um valor de
explícito, então devemos considerar os possíveis valores de (que dependem de ) para responder às perguntas sobre máximos/minimos.
Passo 2
Conceitos-chave que vamos usar (explicados passo a passo):
- Operador
e seus autovalores: Em mecânica quântica, os autovalores do operador (o quadrado do momento angular orbital) para um estado com número quântico são dados por
Aqui
é a constante de Planck reduzida e
é o número quântico orbital. Isso significa que, se o sistema está no autestado de
com índice
, medir
sempre dá esse valor.
- Operador
e seus autovalores: Os possíveis autovalores de são , onde é o número quântico magnético que assume valores inteiros entre e :
Portanto os autovalores de
são
.
- Relação entre componentes:
Essa é uma identidade de operadores (a soma dos quadrados das componentes é o quadrado do módulo). Assim, para um autestado de
e
(um estado
), os valores medidos satisfazem
no sentido de valores/eigenvalores quando se está em
.
Explicação física curta e prática: se
é fixo pelo
, então
depende apenas de quanto de
“sobrou” depois de retirar
. Para minimizar
devemos maximizar
, porque
é fixo.
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao caso
para obter
:
Usamos
Substituindo
:
Portanto a magnitude do momento angular ao quadrado é
.
Passo 4
Encontrar o valor máximo de
:
Os possíveis valores de
para
são
Os autovalores de
são
. Para obter o máximo de
devemos escolher o
com maior
, que é
(ou seja
). Assim
Passo 5
Calcular o menor valor de
:
Usamos a identidade
Em um autestado
o lado direito é simplesmente a diferença entre os autovalores. Para obter o menor valor de
fixando
, devemos subtrair o maior possível valor de
(porque
é fixo em
). Do Passo 4 sabemos que
. Então
Observação didática: mesmo que não possamos ter autovalores simultâneos bem definidos para
e
(eles não comutam com
), para um estado
temos valores bem definidos de
e
, e portanto sabemos o valor do operador
nesse estado pela identidade acima.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)