Para um elétron num átomo que está num estado l=2, encontre:
(a) a magnitude do momento angular ao quadrado L^{2}.
(b) o valor máximo de L_{z}^{2}.
(c) o menor valor de L_{x}^{2}+L_{y}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá um elétron num átomo que está num estado com número quântico orbital l=2 e pede três coisas:
(a) a magnitude do momento angular ao quadrado L^{2};
(b) o valor máximo de L_{z}^{2};
(c) o menor valor de L_{x}^{2}+L_{y}^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O número quântico orbital é \,l=2.
  • Não foi dado um valor de m explícito, então devemos considerar os possíveis valores de m (que dependem de l) para responder às perguntas sobre máximos/minimos.

Passo 2

Conceitos-chave que vamos usar (explicados passo a passo):
  1. Operador L^{2} e seus autovalores: Em mecânica quântica, os autovalores do operador L^{2} (o quadrado do momento angular orbital) para um estado com número quântico l são dados por
\text{autovalor de }L^{2}=\hbar^{2}l(l+1).
Aqui \hbar é a constante de Planck reduzida e l é o número quântico orbital. Isso significa que, se o sistema está no autestado de L^{2} com índice l, medir L^{2} sempre dá esse valor.
  1. Operador L_{z} e seus autovalores: Os possíveis autovalores de L_{z} são \hbar m, onde m é o número quântico magnético que assume valores inteiros entre -l e +l:
m \in \{-l,-l+1,\dots, l-1,l\}.
Portanto os autovalores de L_{z}^{2} são \hbar^{2}m^{2}.
  1. Relação entre componentes:
L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.
Essa é uma identidade de operadores (a soma dos quadrados das componentes é o quadrado do módulo). Assim, para um autestado de L^{2} e L_{z} (um estado |l,m\rangle), os valores medidos satisfazem
L_{x}^{2}+L_{y}^{2}=L^{2}-L_{z}^{2},
no sentido de valores/eigenvalores quando se está em |l,m\rangle.
Explicação física curta e prática: se L^{2} é fixo pelo l, então L_{x}^{2}+L_{y}^{2} depende apenas de quanto de L^{2} “sobrou” depois de retirar L_{z}^{2}. Para minimizar L_{x}^{2}+L_{y}^{2} devemos maximizar L_{z}^{2}, porque L^{2} é fixo.

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao caso l=2 para obter L^{2}:
Usamos
\text{autovalor de }L^{2}=\hbar^{2}l(l+1).
Substituindo l=2:
\text{autovalor de }L^{2}=\hbar^{2}\cdot 2\cdot(2+1)=\hbar^{2}\cdot 2\cdot 3=6\hbar^{2}.
Portanto a magnitude do momento angular ao quadrado é 6\hbar^{2}.

Passo 4

Encontrar o valor máximo de L_{z}^{2}:
Os possíveis valores de m para l=2 são
m\in\{-2,-1,0,1,2\}.
Os autovalores de L_{z}^{2} são \hbar^{2}m^{2}. Para obter o máximo de L_{z}^{2} devemos escolher o m com maior |m|, que é |m|=2 (ou seja m=\pm 2). Assim
\text{máx}(L_{z}^{2})=\hbar^{2}\cdot 2^{2}=4\hbar^{2}.á

Passo 5

Calcular o menor valor de L_{x}^{2}+L_{y}^{2}:
Usamos a identidade
L_{x}^{2}+L_{y}^{2}=L^{2}-L_{z}^{2}.
Em um autestado |l,m\rangle o lado direito é simplesmente a diferença entre os autovalores. Para obter o menor valor de L_{x}^{2}+L_{y}^{2} fixando l=2, devemos subtrair o maior possível valor de L_{z}^{2} (porque L^{2} é fixo em 6\hbar^{2}). Do Passo 4 sabemos que \text{máx}(L_{z}^{2})=4\hbar^{2}á. Então
\text{mín}\,(L_{x}^{2}+L_{y}^{2})=6\hbar^{2}-4\hbar^{2}=2\hbar^{2}.í
Observação didática: mesmo que não possamos ter autovalores simultâneos bem definidos para L_x e L_y (eles não comutam com L_z), para um estado |l,m\rangle temos valores bem definidos de L^{2} e L_{z}^{2}, e portanto sabemos o valor do operador L_{x}^{2}+L_{y}^{2} nesse estado pela identidade acima.

Resposta

(a) 6\hbar^{2}
(b) 4\hbar^{2}
(c) 2\hbar^{2}

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