Suponha que você tenha trés partículas, e três diferentes estados de partícula simples \left(\psi_{a}(x), \psi_{b}(x)\right. e \left.\psi_{c}(x)\right) estejam disponíveis. (As partículas não precisam estar em estados diferentes; \psi_{a}\left(x_{1}\right) \psi_{a}\left(x_{2}\right) \psi_{a}\left(x_{3}\right) seria uma possibilidade se as partículas fossem distinguíveis.) Quantos estados de três partículas diferentes podem ser construídos
se elas forem férmions idênticos?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
Temos três partículas (índices podem ser 1,2,3).
Existem três estados de partícula simples disponíveis: \psi_{a}(x), \psi_{b}(x) e \psi_{c}(x).
O enunciado lembra que, se as partículas fossem distinguíveis, poderíamos por exemplo ter \psi_{a}(x_{1})\psi_{a}(x_{2})\psi_{a}(x_{3}) etc.
A pergunta é: quantos estados de três partículas podem ser construídos se as partículas forem férmions idênticos?
Passo 2
Entendendo o que significa “férmions idênticos” (sem usar jargões difíceis): para férmions idênticos a função de onda total deve mudar de sinal quando trocamos duas partículas quaisquer. Em fórmulas simples, para os argumentos x_{1},x_{2},x_{3} da função de onda total \Psi,
e análogas trocas entre quaisquer dois argumentos dão sinal negativo. Esse é o requisito de antissimetria sob permutações.
Passo 3
Consequência imediata: se dois fermions ocupassem exatamente o mesmo estado simples, a função de onda antissimétrica anularia. Mostro com um exemplo pequeno e intuitivo: suponha dois fermions em \psi_{a}. Considere a combinação antissimétrica
Mas os dois termos são iguais, então a diferença é zero. Logo, qualquer tentativa de colocar dois fermions no mesmo estado simples dá função de onda nula (estado proibido). Esse é o conteúdo do Princípio de Exclusão de Pauli.
Passo 4
Aplicando ao problema: como temos três férmions e apenas três estados simples disponíveis \psi_{a},\psi_{b},\psi_{c}, para obter uma função de onda antissimétrica não nula é necessário que cada férmion ocupe um estado diferente. Ou seja, não podemos repetir um mesmo \psi para duas partículas — caso contrário o estado é zero.
Passo 5
Agora a contagem: devemos contar quantas maneiras distintas (não ordenadas) de escolher quais três estados simples serão ocupados existem. Temos exatamente três estados disponíveis e precisamos preencher três sítios com estados distintos. O número de maneiras de escolher 3 elementos distintos dentre 3 é a combinação
\binom{3}{3}=1.
Observação importante: permutar as partículas (ou seja, trocar quem está em a,b,c) não gera um novo estado físico separado, porque a função de onda antissimétrica já incorpora essas permutações (só muda por um sinal). Na contagem de estados físicos contamos cada conjunto de ocupações distinto (não a ordem dos ocupantes). Portanto cada seleção de três estados distintos corresponde a um único estado de muitos-corpos (até fator de fase).
Passo 6
Posso também escrever explicitamente o estado antissimétrico (forma prática usada em física): a combinação é dada por um determinante de Slater. Assumindo que os estados simples \psi_{a},\psi_{b},\psi_{c} são ortonormais, o estado de três férmions ocupando \{a,b,c\} é
Esse determinante é antissimétrico por construção e não se anula porque as colunas representam três estados distintos. O fator 1/\sqrt{3!} é o fator de normalização quando as \psi são ortonormais.]
Passo 7
Resumo lógico: não se pode repetir estados (Pauli), portanto cada estado permitido corresponde a uma escolha de 3 estados distintos dentre os 3 disponíveis. Há exatamente uma escolha possível. Assim existe exatamente um estado de três férmions idênticos construído a partir dessas três ondas simples.